À quoi sert ce calculateur
Ce calculateur résout toute équation du second degré écrite sous sa forme canonique \(ax^2 + bx + c = 0\). Il vous suffit de saisir les trois coefficients et l'outil affiche les racines (les solutions) de l'équation. Point essentiel : il traite automatiquement les trois cas possibles — deux racines réelles distinctes, une racine réelle double, ou deux racines complexes (imaginaires). Vous n'avez jamais à déterminer à l'avance le cas concerné : le calculateur analyse le discriminant à votre place.
Les données à renseigner
- Coefficient a — le nombre qui multiplie \(x^2\) (il ne doit pas être égal à 0, sinon l'équation n'est plus du second degré).
- Coefficient b — le nombre qui multiplie \(x\).
- Coefficient c — le terme constant.
Ces trois valeurs peuvent être positives, négatives, entières ou décimales. Le calculateur nettoie l'affichage afin que les résultats entiers apparaissent sans le « ,0 » superflu.
La formule expliquée
Le résultat découle de la célèbre formule de résolution :
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$$L'expression sous la racine carrée, \(b^2 - 4ac\), s'appelle le discriminant (souvent noté Δ en France), et c'est lui qui détermine la nature des solutions :
- Discriminant > 0 : deux racines réelles distinctes.
- Discriminant = 0 : une racine réelle unique, égale à \(-b / 2a\).
- Discriminant < 0 : deux racines complexes, exprimées sous la forme d'une partie réelle (\(-b / 2a\)) à laquelle on ajoute ou retranche une partie imaginaire (\(\sqrt{-\text{discriminant}} / 2a\)) suivie de la lettre « i ».
Exemple concret
Prenons \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = 2\). Le discriminant vaut \((-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1\), soit une valeur positive : il existe donc deux racines réelles :
- $$x = \frac{3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{3 + 1}{2} = \textbf{2}$$
- $$x = \frac{3 - \sqrt{1}}{2} = \frac{3 - 1}{2} = \textbf{1}$$
Pour \(a = 1\), \(b = 0\), \(c = 1\), le discriminant vaut \(0 - 4 = -4\) (négatif), ce qui donne les racines complexes \(0 + 1i\) et \(0 - 1i\).
Questions fréquentes
Que se passe-t-il si je saisis 0 pour le coefficient a ? L'équation n'est alors plus du second degré, et la division par \(2a\) (qui devient égal à 0) produit un résultat indéfini. Utilisez toujours une valeur non nulle pour a.
Pourquoi obtient-on parfois des racines complexes ? Lorsque le discriminant est négatif, la parabole ne croise jamais l'axe des abscisses : il n'existe donc aucune solution réelle, seulement des solutions complexes exprimées à l'aide de l'unité imaginaire « i ».
Puis-je utiliser des coefficients décimaux ? Oui. Le calculateur accepte les nombres décimaux et négatifs ; il affiche proprement les nombres entiers tout en conservant la précision décimale lorsque c'est nécessaire.
