Калькулятор квадратных уравнений

Введите расчет

Коэффициент a:

Коэффициент b:

Коэффициент c:

Результатов

Quadratic equation: ax² + bx + c = 0

One real root:

x = -0.5

Что делает этот калькулятор

Калькулятор квадратных уравнений решает любое уравнение, записанное в стандартном виде ax² + bx + c = 0. Вы вводите три коэффициента, а инструмент возвращает корни (решения) уравнения. Главное — он автоматически обрабатывает все три возможных случая: два различных действительных корня, один кратный действительный корень или два комплексных (мнимых) корня. Вам не нужно заранее определять, какой случай перед вами — калькулятор сам вычислит дискриминант.

Что нужно ввести

• Коэффициент a — число при x² (не должно равняться 0, иначе уравнение перестаёт быть квадратным).
• Коэффициент b — число при x.
• Коэффициент c — свободный член.

Все три значения могут быть положительными, отрицательными, целыми или дробными. Калькулятор аккуратно оформляет результат: целые ответы выводятся без лишнего «.0» на конце.

Разбор формулы

Результат получается по классической формуле корней квадратного уравнения:

$$x = \frac{-\text{b} \pm \sqrt{\text{b}^{2} - 4\,\text{a}\,\text{c}}}{2\,\text{a}}$$

Выражение под знаком корня, \(\text{b}^{2} - 4\,\text{a}\,\text{c}\), называется дискриминантом и определяет тип ответа:

• Дискриминант > 0: два различных действительных корня.
• Дискриминант = 0: один действительный корень, равный \(-\text{b} / 2\text{a}\).
• Дискриминант < 0: два комплексных корня, которые записываются как действительная часть (\(-\text{b} / 2\text{a}\)) плюс или минус мнимая часть (\(\sqrt{-\text{дискриминант}} / 2\text{a}\)) с буквой «i».

Реклама

Формула корней квадратного уравнения и её дискриминант \(\text{b}^{2} - 4\,\text{a}\,\text{c}\), определяющий характер корней.

Пример с решением

Пусть a = 1, b = −3, c = 2. Дискриминант равен \((-3)^{2} - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1\) — он положительный, значит, есть два действительных корня:

• \(x = (3 + \sqrt{1}) / 2 = (3 + 1) / 2 = \mathbf{2}\)
• \(x = (3 - \sqrt{1}) / 2 = (3 - 1) / 2 = \mathbf{1}\)

А при a = 1, b = 0, c = 1 дискриминант равен \(0 - 4 = -4\) (отрицательный), и мы получаем комплексные корни 0 + 1i и 0 − 1i.

Как знак дискриминанта соответствует двум, одной или нулю точкам пересечения параболы с осью x.

Часто задаваемые вопросы

Что будет, если ввести 0 в коэффициент a? Уравнение перестаёт быть квадратным, а деление на 2a (которое превращается в 0) даёт неопределённый результат. Всегда используйте для a значение, отличное от нуля.

Почему иногда получаются комплексные корни? Когда дискриминант отрицательный, парабола не пересекает ось x, поэтому действительных решений нет — есть только комплексные, выраженные через мнимую единицу «i».

Можно ли использовать дробные коэффициенты? Да. Калькулятор принимает дробные и отрицательные числа: целые значения он показывает в чистом виде, а где нужно — сохраняет десятичную точность.