À quoi sert ce calculateur
Cet outil résout n'importe quelle équation du second degré écrite sous sa forme canonique, a·x² + b·x + c = 0, à l'aide de la célèbre formule quadratique. Saisissez les trois coefficients : le calculateur affiche les deux racines, la valeur du discriminant et une explication claire indiquant si les solutions sont réelles ou complexes. Il accepte les coefficients négatifs et présente les racines complexes conjuguées sous la forme habituelle p ± q·i.
Comment l'utiliser
Indiquez le coefficient de x² dans le champ a, le coefficient de x dans le champ b et le terme constant dans le champ c. Le coefficient a ne doit pas être égal à 0 : dans le cas contraire, l'équation devient linéaire (du premier degré) et le calculateur résout alors b·x + c = 0. Cliquez sur « Calculer » pour afficher x₁, x₂ et le discriminant.
La formule expliquée
La formule quadratique s'écrit $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}.$$ L'expression sous la racine carrée, \(\Delta = b^{2} - 4ac\), porte le nom de discriminant (souvent noté Δ en France). Son signe vous renseigne entièrement sur les solutions : si \(\Delta > 0\), l'équation admet deux racines réelles distinctes ; si \(\Delta = 0\), il existe une seule racine réelle (dite double) ; si \(\Delta < 0\), on obtient deux racines complexes conjuguées, de partie réelle \(-b/(2a)\) et de partie imaginaire \(\sqrt{-\Delta}/(2a)\).
Exemple résolu
Résolvons \(x^{2} - 3x + 2 = 0\), soit \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = 2\). Le discriminant vaut $$\Delta = (-3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1,$$ qui est positif : il existe donc deux racines réelles. Comme \(\sqrt{1} = 1\), on obtient $$x_{1} = \frac{3 + 1}{2} = 2 \quad \text{et} \quad x_{2} = \frac{3 - 1}{2} = 1.$$ L'équation se factorise en \((x - 2)(x - 1) = 0\), ce qui confirme le résultat.
Questions fréquentes
Que se passe-t-il si le discriminant est négatif ? L'équation n'a aucune solution réelle ; le calculateur renvoie alors deux racines complexes conjuguées sous la forme p ± q·i.
Pourquoi a ne doit-il pas être nul ? Le dénominateur \(2a\) serait égal à zéro et l'équation ne serait plus du second degré. Dans ce cas, le calculateur résout l'équation linéaire \(x = -c/b\).
Que signifie une racine double ? Lorsque \(\Delta = 0\), la parabole est tangente à l'axe des abscisses en un seul point : les deux racines sont identiques et valent \(x = -b/(2a)\).
