이 계산기로 할 수 있는 것
이 도구는 표준형 a·x² + b·x + c = 0으로 나타낸 모든 이차방정식을 익숙한 근의 공식으로 풀어 줍니다. 세 개의 계수만 입력하면 두 근과 판별식 값, 그리고 근이 실근인지 허근인지를 알기 쉬운 말로 알려 줍니다. 음수 계수도 그대로 처리하며, 허근일 경우 익숙한 p ± q·i 꼴의 켤레복소수로 나타냅니다.
사용 방법
x²의 계수를 a에, x의 계수를 b에, 상수항을 c에 입력하세요. 계수 a는 0이 될 수 없습니다. 만약 a가 0이면 이차방정식이 아니라 일차방정식이 되며, 이 경우 계산기는 b·x + c = 0을 푸는 방식으로 전환됩니다. 계산 버튼을 누르면 x₁, x₂와 판별식 값을 확인할 수 있습니다.
공식 풀이
근의 공식은 $$x = \frac{-\text{b} \pm \sqrt{\text{b}^{2} - 4\,\text{a}\,\text{c}}}{2\,\text{a}}$$입니다. 제곱근 안에 들어가는 식 \(D = \text{b}^{2} - 4\text{a}\text{c}\)를 판별식이라고 부릅니다. 이 판별식의 부호가 근에 대한 모든 것을 알려 줍니다. \(D > 0\)이면 서로 다른 두 실근이 있고, \(D = 0\)이면 같은 값이 두 번 겹치는 중근(실근 하나)이 되며, \(D < 0\)이면 두 개의 켤레복소근이 생깁니다. 이때 실수부는 \(-\text{b}/(2\text{a})\), 허수부는 \(\sqrt{-D}/(2\text{a})\)입니다.
예제로 풀어 보기
\(x^{2} - 3x + 2 = 0\)을 풀어 봅시다. 여기서 \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = 2\)입니다. 판별식은 $$D = (-3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$$로 양수이므로 두 실근이 존재합니다. \(\sqrt{1} = 1\)이므로 \(x_{1} = (3 + 1)/2 = 2\), \(x_{2} = (3 - 1)/2 = 1\)이 됩니다. 이 방정식은 \((x - 2)(x - 1) = 0\)으로 인수분해되어 결과가 맞음을 확인할 수 있습니다.
자주 묻는 질문
판별식이 음수이면 어떻게 되나요? 실근이 존재하지 않습니다. 이 경우 계산기는 p ± q·i 꼴의 켤레복소근 두 개를 알려 줍니다.
왜 a는 0이 될 수 없나요? a가 0이면 분모 \(2\text{a}\)가 0이 되고, 식 자체가 더 이상 이차방정식이 아니기 때문입니다. 이때 계산기는 일차방정식인 \(x = -c/b\)를 대신 풀어 줍니다.
중근은 무슨 의미인가요? \(D = 0\)일 때 포물선이 x축에 한 점에서만 접하는 경우로, 두 근이 똑같아집니다. 즉 \(x = -\text{b}/(2\text{a})\)입니다.
