Qu'est-ce que la formule de Héron ?
La formule de Héron permet de calculer l'aire d'un triangle dès lors que l'on connaît la longueur de ses trois côtés — sans avoir besoin de la hauteur ni du moindre angle. Attribuée à Héron d'Alexandrie, elle compte parmi les résultats les plus élégants de la géométrie classique. Elle se révèle particulièrement utile en topographie, dans le bâtiment et dans toutes les situations où mesurer une hauteur s'avère peu commode.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez les longueurs des trois côtés a, b et c dans une unité cohérente (cm, m, pouces, etc.). Le calculateur détermine d'abord le demi-périmètre, puis affiche l'aire du triangle exprimée en unités carrées, ainsi que son périmètre. Si les valeurs ne peuvent pas former un véritable triangle, un message vous en avertit.
La formule en détail
On calcule d'abord le demi-périmètre : \(s = \frac{a + b + c}{2}\). L'aire vaut ensuite
$$A = \sqrt{s\,(s-a)\,(s-b)\,(s-c)}$$L'expression sous la racine carrée n'est positive que si les trois côtés respectent l'inégalité triangulaire (chaque côté doit être inférieur à la somme des deux autres) — c'est précisément la condition d'existence d'un triangle valide.
Exemple détaillé
Pour un triangle de côtés \(a = 3\), \(b = 4\) et \(c = 5\) : le demi-périmètre est
$$s = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6$$On obtient alors
$$A = \sqrt{6 \times (6-3) \times (6-4) \times (6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6$$unités carrées. (Il s'agit du célèbre triangle rectangle 3-4-5, dont l'aire vaut également \(\frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6\).)
FAQ
Ai-je besoin des angles ? Non — la formule de Héron n'utilise que les trois longueurs de côté.
Dans quelle unité l'aire est-elle exprimée ? Dans l'unité de saisie des côtés, élevée au carré. Si les côtés sont en mètres, l'aire est en mètres carrés.
Pourquoi un message « triangle non valide » s'affiche-t-il ? Si un côté est nul, négatif ou plus long que la somme des deux autres, aucun triangle réel n'existe et l'aire n'est pas définie.
