Qu'est-ce que la formule de Héron ?
La formule de Héron permet de calculer l'aire d'un triangle en connaissant uniquement la longueur de ses trois côtés, sans avoir besoin d'aucun angle ni de la hauteur. Attribuée à Héron d'Alexandrie, elle compte parmi les outils les plus pratiques en géométrie, en topographie et dans le bâtiment, là où mesurer les trois côtés d'un terrain ou d'une figure est bien plus simple que d'en relever la hauteur.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez les longueurs des trois côtés \(a\), \(b\) et \(c\) dans la même unité (centimètres, mètres, pouces, etc.). Le calculateur détermine d'abord le demi-périmètre, puis affiche l'aire exprimée en unités carrées. Les trois côtés doivent respecter l'inégalité triangulaire : chaque côté doit être plus court que la somme des deux autres. Dans le cas contraire, aucun triangle réel n'existe et l'aire affichée est égale à zéro.
La formule expliquée
On calcule d'abord le demi-périmètre \(s = (a + b + c) / 2\). L'aire vaut ensuite \(A = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}\). Chacun des facteurs \((s - a)\), \((s - b)\) et \((s - c)\) n'est positif que pour un triangle valide, ce qui garantit que la valeur sous la racine carrée reste positive ou nulle.
$$A = \sqrt{s\,(s-a)\,(s-b)\,(s-c)}$$ $$\text{où}\quad \left\{ \begin{aligned} a &= \text{Côté a} \\ b &= \text{Côté b} \\ c &= \text{Côté c} \\ s &= \dfrac{a + b + c}{2} \end{aligned} \right.$$Exemple résolu
Pour un triangle de côtés \(a = 3\), \(b = 4\) et \(c = 5\), le demi-périmètre est $$s = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6.$$ On obtient alors $$A = \sqrt{6 \times (6-3) \times (6-4) \times (6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6$$ unités carrées. Il s'agit du célèbre triangle rectangle 3-4-5, dont l'aire vaut aussi \(\tfrac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6\), ce qui confirme le résultat.
FAQ
Puis-je utiliser n'importe quelle unité ? Oui : il suffit d'exprimer les trois côtés dans la même unité ; l'aire est alors donnée dans cette unité au carré.
Pourquoi le résultat affiche-t-il zéro ? Si le côté le plus long est égal ou supérieur à la somme des deux autres, les trois longueurs ne peuvent pas former un triangle : l'aire est donc nulle.
La formule fonctionne-t-elle pour tous les triangles ? Oui : scalène, isocèle, équilatéral, acutangle, rectangle ou obtusangle. La formule de Héron ne nécessite que les trois longueurs des côtés.
