Calculateur de formule de Héron

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Côté a

Côté b

Côté c

Résultats

Aire du triangle

6

unités carrées

Demi-périmètre (s)	6
Périmètre (a+b+c)	12

Qu'est-ce que la formule de Héron ?

La formule de Héron permet de calculer l'aire d'un triangle dès lors que l'on connaît la longueur de ses trois côtés — sans avoir besoin d'aucun angle ni de la hauteur. Attribuée à Héron d'Alexandrie, elle compte parmi les résultats les plus élégants de la géométrie et s'applique à tout triangle valide, qu'il soit acutangle, rectangle ou obtusangle.

La formule de Héron donne l'aire d'un triangle à partir de ses trois côtés a, b et c.

Comment utiliser ce calculateur

Saisissez les longueurs des trois côtés a, b et c dans la même unité (cm, m, pouces, etc.). Le calculateur détermine d'abord le demi-périmètre s, puis applique la formule de Héron pour obtenir l'aire. Le résultat est exprimé dans l'unité au carré correspondant à celle que vous avez saisie. Pour que les côtés forment un véritable triangle, chaque côté doit être plus court que la somme des deux autres : c'est l'inégalité triangulaire.

La formule expliquée

Calculez d'abord le demi-périmètre :

$$s = \frac{a + b + c}{2}$$

L'aire est ensuite donnée par

$$\text{Aire} = \sqrt{s\,(s-a)(s-b)(s-c)}$$

L'astuce, c'est que l'expression sous la racine carrée reste toujours positive ou nulle pour un triangle valide ; elle vaut zéro lorsque les trois points sont alignés (triangle dégénéré).

Le demi-périmètre s est la moitié de la somme des trois côtés et sert à la formule de l'aire.

Exemple concret

Prenons un triangle dont les côtés mesurent \(a = 3\), \(b = 4\) et \(c = 5\). Le demi-périmètre vaut

$$s = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6$$

L'aire est alors

$$\text{Aire} = \sqrt{6 \times (6-3) \times (6-4) \times (6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6 \text{ unités carrées}$$

On reconnaît le célèbre triangle rectangle 3-4-5 : le calcul \(\tfrac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6\) confirme bien le résultat.

FAQ

Dois-je connaître les angles ? Non — la formule de Héron n'utilise que les longueurs des trois côtés.

Et si j'obtiens zéro ou aucun résultat ? C'est que les trois côtés ne forment pas un triangle valide : l'un d'eux est trop long par rapport aux deux autres.

Dans quelle unité l'aire est-elle exprimée ? Dans l'unité au carré de celle utilisée pour les côtés — pensez à saisir tous les côtés dans la même unité.