Qu'est-ce qu'un triplet pythagoricien ?
Un triplet pythagoricien est un ensemble de trois entiers positifs (a, b, c) qui vérifient le théorème de Pythagore, \(a^2 + b^2 = c^2\). L'exemple le plus célèbre est (3, 4, 5), puisque \(9 + 16 = 25\). Ces triplets décrivent des triangles rectangles dont les trois côtés ont des longueurs entières, ce qui les rend précieux en géométrie, en théorie des nombres, dans le bâtiment et en trigonométrie.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez deux nombres entiers, m et n, avec m strictement supérieur à n et tous deux supérieurs à zéro. Lancez le calcul : l'outil applique la formule d'Euclide pour produire instantanément un triplet valide (a, b, c). Il affiche également \(a^2\), \(b^2\) et \(a^2 + b^2\), afin que vous puissiez vérifier que le résultat est bien égal à \(c^2\).
La formule expliquée
La formule d'Euclide énonce que, pour tous entiers m > n > 0 :
$$(a,\,b,\,c) = \left(\text{m}^{2} - \text{n}^{2},\ \ 2\,\text{m}\,\text{n},\ \ \text{m}^{2} + \text{n}^{2}\right)$$En remplaçant ces expressions dans \(a^2 + b^2\), on obtient $$(m^2-n^2)^2 + (2mn)^2 = m^4 - 2m^2n^2 + n^4 + 4m^2n^2 = m^4 + 2m^2n^2 + n^4 = (m^2 + n^2)^2,$$ ce qui équivaut à \(c^2\). Cela démontre que chaque couple (m, n) engendre un véritable triplet pythagoricien. Lorsque m et n sont premiers entre eux et ne sont pas tous deux impairs, le triplet est primitif (ses termes n'ont aucun facteur commun).
Exemple détaillé
Prenons m = 2 et n = 1. On a alors $$a = 2^2 - 1^2 = 3,\quad b = 2 \times 2 \times 1 = 4,\quad c = 2^2 + 1^2 = 5.$$ Le triplet est (3, 4, 5), et l'on vérifie bien que \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\).
Questions fréquentes
Pourquoi m doit-il être supérieur à n ? Si m ≤ n, la valeur \(a = m^2 - n^2\) serait nulle ou négative, ce qui est impossible pour la longueur d'un côté de triangle.
Cet outil donne-t-il tous les triplets ? La formule d'Euclide (assortie d'un facteur d'échelle) permet de générer l'ensemble des triplets pythagoriciens. Un seul couple (m, n) fournit à la fois un triplet primitif ou mis à l'échelle.
Qu'est-ce qu'un triplet primitif ? Un triplet primitif est un triplet dont a, b et c n'ont aucun diviseur commun autre que 1, comme (3, 4, 5) ou (5, 12, 13).
