Bộ ba số Pythagore là gì?
Bộ ba số Pythagore là một tập hợp gồm ba số nguyên dương (a, b, c) thỏa mãn định lý Pythagore: \(a^2 + b^2 = c^2\). Ví dụ nổi tiếng nhất là (3, 4, 5), vì \(9 + 16 = 25\). Những bộ ba này mô tả các tam giác vuông có cả ba cạnh đều là số nguyên, nên chúng đóng vai trò quan trọng trong hình học, lý thuyết số, xây dựng và lượng giác.
Cách sử dụng máy tính này
Nhập hai số nguyên m và n, trong đó m lớn hơn n và cả hai đều lớn hơn 0. Nhấn nút tính, công cụ sẽ áp dụng công thức Euclid để tạo ra ngay một bộ ba hợp lệ (a, b, c). Máy cũng hiển thị \(a^2\), \(b^2\) và \(a^2 + b^2\) để bạn dễ dàng kiểm chứng rằng kết quả đúng bằng \(c^2\).
Giải thích công thức
Công thức Euclid phát biểu rằng với mọi số nguyên m > n > 0:
$$(a,\,b,\,c) = \left(\text{m}^{2} - \text{n}^{2},\ \ 2\,\text{m}\,\text{n},\ \ \text{m}^{2} + \text{n}^{2}\right)$$Thay các giá trị này vào \(a^2 + b^2\), ta được \((m^2-n^2)^2 + (2mn)^2 = m^4 - 2m^2 n^2 + n^4 + 4m^2 n^2 = m^4 + 2m^2 n^2 + n^4 = (m^2 + n^2)^2\), đúng bằng \(c^2\). Điều này chứng minh mỗi cặp (m, n) đều cho ra một bộ ba Pythagore thực sự. Khi m và n nguyên tố cùng nhau và không cùng là số lẻ, bộ ba thu được là bộ ba nguyên thủy (các số hạng không có ước chung).
Ví dụ minh họa
Lấy m = 2 và n = 1. Khi đó \(a = 2^2 - 1^2 = 3\), \(b = 2 \times 2 \times 1 = 4\), và \(c = 2^2 + 1^2 = 5\). Bộ ba là (3, 4, 5), và quả thật $$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2.$$
Câu hỏi thường gặp
Vì sao m phải lớn hơn n? Nếu m ≤ n, giá trị \(a = m^2 - n^2\) sẽ bằng 0 hoặc âm, mà điều này không thể là độ dài một cạnh tam giác.
Công thức này có tạo ra mọi bộ ba không? Công thức Euclid (kết hợp với một hệ số nhân) tạo ra được tất cả các bộ ba Pythagore. Mỗi cặp (m, n) chỉ cho ra một bộ ba nguyên thủy hoặc một bộ ba được nhân tỷ lệ tại một thời điểm.
Bộ ba nguyên thủy là gì? Bộ ba nguyên thủy là bộ ba mà a, b và c không có ước chung nào khác ngoài 1, chẳng hạn (3, 4, 5) hoặc (5, 12, 13).
