Pisagor Üçlüleri Hesaplama Aracı

Hesaplamaya Girin

m (büyük tam sayı)

n (küçük tam sayı)

Sonuç

Pisagor Üçlüsü (a, b, c)

3, 4, 5

a² + b² = c² eşitliğini sağlar

Kenar a = m² − n²	3
Kenar b = 2mn	4
Hipotenüs c = m² + n²	5
a²	9
b²	16
a² + b² = c²	25

Pisagor Üçlüsü Nedir?

Pisagor üçlüsü, \(a^2 + b^2 = c^2\) Pisagor teoremini sağlayan üç pozitif tam sayıdan (a, b, c) oluşan bir kümedir. En bilinen örnek (3, 4, 5) üçlüsüdür; çünkü \(9 + 16 = 25\) olur. Bu üçlüler, üç kenar uzunluğunun da tam sayı olduğu dik üçgenleri tanımlar. Bu nedenle geometri, sayılar teorisi, inşaat ve trigonometri alanlarında büyük önem taşırlar.

Bir Pisagor üçlüsü, dik üçgen için \(a^2 + b^2 = c^2\) eşitliğini sağlar.

Hesaplama Aracını Nasıl Kullanırsınız?

m ve n olmak üzere iki tam sayı girin; burada m, n'den büyük olmalı ve her ikisi de sıfırdan büyük olmalıdır. "Hesapla" düğmesine bastığınızda araç, Öklid formülünü uygulayarak anında geçerli bir (a, b, c) üçlüsü üretir. Ayrıca \(a^2\), \(b^2\) ve \(a^2 + b^2\) değerlerini de gösterir; böylece sonucun \(c^2\)'ye eşit olduğunu kolayca doğrulayabilirsiniz.

Formülün Açıklaması

Öklid formülü, \(m > n > 0\) koşulunu sağlayan tüm tam sayılar için şunu belirtir:

$$(a,\,b,\,c) = \left(\text{m}^{2} - \text{n}^{2},\ \ 2\,\text{m}\,\text{n},\ \ \text{m}^{2} + \text{n}^{2}\right)$$

Bu değerleri \(a^2 + b^2\) ifadesinde yerine koyduğumuzda: $$(m^2-n^2)^2 + (2mn)^2 = m^4 - 2m^2 n^2 + n^4 + 4m^2 n^2 = m^4 + 2m^2 n^2 + n^4 = (m^2 + n^2)^2$$ elde edilir; bu da \(c^2\)'ye eşittir. Böylece her (m, n) çiftinin gerçek bir Pisagor üçlüsü ürettiği kanıtlanmış olur. m ve n aralarında asal olduğunda ve ikisi birden tek sayı olmadığında üçlü ilkel (primitif) olur; yani terimlerin ortak böleni yoktur.

Reklam

Öklid formülü, iki tam sayı m ve n'yi (a, b, c) üçlüsüne eşler.

Çözümlü Örnek

m = 2 ve n = 1 olsun. Bu durumda \(a = 2^2 - 1^2 = 3\), \(b = 2 \times 2 \times 1 = 4\) ve \(c = 2^2 + 1^2 = 5\) olur. Üçlü (3, 4, 5) şeklindedir ve gerçekten de $$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$$ eşitliği sağlanır.

Sıkça Sorulan Sorular

m neden n'den büyük olmalı? \(m \le n\) olursa \(a = m^2 - n^2\) değeri sıfır ya da negatif olur ve bu da bir üçgen kenarının uzunluğu olamaz.

Bu yöntem tüm üçlüleri verir mi? Öklid formülü (bir ölçekleme katsayısıyla birlikte) tüm Pisagor üçlülerini üretir. Tek bir (m, n) çifti, her seferinde bir ilkel veya ölçeklenmiş üçlü verir.

İlkel (primitif) üçlü nedir? İlkel üçlü, a, b ve c değerlerinin 1 dışında ortak böleni olmayan üçlüdür; örneğin (3, 4, 5) veya (5, 12, 13).