Что такое пифагорова тройка?
Пифагорова тройка — это набор из трёх натуральных чисел (a, b, c), которые удовлетворяют теореме Пифагора: \(a^2 + b^2 = c^2\). Самый известный пример — тройка (3, 4, 5), ведь \(9 + 16 = 25\). Такие тройки задают прямоугольные треугольники, все три стороны которых выражены целыми числами. Именно поэтому они играют важную роль в геометрии, теории чисел, строительстве и тригонометрии.
Как пользоваться калькулятором
Введите два натуральных числа — \(m\) и \(n\), где \(m\) больше \(n\), и оба больше нуля. Нажмите «Рассчитать», и калькулятор применит формулу Евклида, чтобы мгновенно построить корректную тройку (a, b, c). Дополнительно он показывает \(a^2\), \(b^2\) и сумму \(a^2 + b^2\), чтобы вы могли убедиться, что результат равен \(c^2\).
Разбор формулы
Формула Евклида гласит, что для любых целых чисел \(m > n > 0\):
$$(a,\,b,\,c) = \left(\text{m}^{2} - \text{n}^{2},\ \ 2\,\text{m}\,\text{n},\ \ \text{m}^{2} + \text{n}^{2}\right)$$
Подставив эти значения в выражение \(a^2 + b^2\), получаем: $$(m^2-n^2)^2 + (2mn)^2 = m^4 - 2m^2n^2 + n^4 + 4m^2n^2 = m^4 + 2m^2n^2 + n^4 = (m^2 + n^2)^2,$$ что и равно \(c^2\). Это доказывает, что любая пара (m, n) даёт настоящую пифагорову тройку. Если \(m\) и \(n\) взаимно просты и не являются оба нечётными, тройка получается примитивной (её члены не имеют общего делителя).
Пример расчёта
Пусть \(m = 2\) и \(n = 1\). Тогда $$a = 2^2 - 1^2 = 3, \quad b = 2 \times 2 \times 1 = 4, \quad c = 2^2 + 1^2 = 5.$$ Получаем тройку (3, 4, 5), и действительно: \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\).
Частые вопросы
Почему m должно быть больше n? Если \(m \le n\), то значение \(a = m^2 - n^2\) окажется нулём или отрицательным, а это не может быть длиной стороны треугольника.
Даёт ли формула все возможные тройки? Формула Евклида (с учётом масштабного множителя) порождает все пифагоровы тройки. Одна пара (m, n) за раз даёт одну примитивную или масштабированную тройку.
Что такое примитивная тройка? Примитивная тройка — это такая, в которой a, b и c не имеют общего делителя, кроме 1, например (3, 4, 5) или (5, 12, 13).
