Калькулятор: генератор пифагоровых троек

Введите расчет

m (большее целое число)

n (меньшее целое число)

Результатов

Пифагорова тройка

(3, 4, 5)

a² + b² = c²

Катет a	3
Катет b	4
Гипотенуза c	5
Использованные m, n	m = 2, n = 1

Что такое пифагорова тройка?

Пифагорова тройка — это набор из трёх натуральных чисел (a, b, c), которые удовлетворяют теореме Пифагора: \(a^2 + b^2 = c^2\). Самый известный пример — тройка (3, 4, 5), ведь \(9 + 16 = 25\). Этот калькулятор автоматически строит такие тройки из двух исходных целых чисел с помощью классической формулы Евклида.

Пифагорова тройка описывает длины сторон прямоугольного треугольника, где \(a^2 + b^2 = c^2\).

Как пользоваться генератором

Введите два целых числа \(m\) и \(n\), причём \(m\) должно быть больше \(n\) (оба не меньше 1, а \(m\) — не меньше 2). Нажмите «Рассчитать», и калькулятор выдаст тройку (a, b, c) вместе с использованными значениями \(m\) и \(n\). Катеты упорядочены так, что меньший показан первым.

Разбор формулы

Формула Евклида утверждает: для любых целых чисел \(m > n > 0\) значения $$\left(a,\,b,\,c\right) = \left(\text{m}^2 - \text{n}^2,\ \ 2\,\text{m}\,\text{n},\ \ \text{m}^2 + \text{n}^2\right)$$ всегда образуют пифагорову тройку: $$\begin{gathered} a^2 + b^2 = c^2 \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} a &= \text{m}^2 - \text{n}^2 \\ b &= 2\,\text{m}\,\text{n} \\ c &= \text{m}^2 + \text{n}^2 \end{aligned} \right. \end{gathered}$$ Если \(m\) и \(n\) взаимно просты и не являются одновременно нечётными, получается примитивная тройка — её нельзя сократить на общий множитель. В остальных случаях тройка оказывается кратной какой-либо примитивной.

Формула Евклида сопоставляет двум целым числам \(m\) и \(n\) тройку \(a = m^2-n^2\), \(b = 2mn\), \(c = m^2+n^2\).

Пример с решением

Возьмём \(m = 2\) и \(n = 1\). Тогда $$a = 4 - 1 = 3,\quad b = 2 \times 2 \times 1 = 4,\quad c = 4 + 1 = 5.$$ В итоге получаем (3, 4, 5). Проверка: \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\). Если взять \(m = 3\), \(n = 2\), выйдет \(a = 5\), \(b = 12\), \(c = 13\) — знакомая многим тройка (5, 12, 13).

Частые вопросы

Почему m должно быть больше n? Если \(n \geq m\), то катет \(a = m^2 - n^2\) окажется нулевым или отрицательным, а такого значения длины стороны не бывает.

Даёт ли формула все тройки? Формула Евклида порождает каждую примитивную тройку ровно один раз (при взаимно простых \(m\) и \(n\) разной чётности), а все остальные тройки получаются как кратные примитивных.

Считается ли (a, b, c) тем же, что и (b, a, c)? Катеты можно менять местами; для единообразия калькулятор просто всегда показывает меньший катет первым.