पाइथागोरस त्रिक क्या होता है?
पाइथागोरस त्रिक तीन धनात्मक पूर्णांकों (a, b, c) का ऐसा समूह है जो पाइथागोरस प्रमेय \(a^2 + b^2 = c^2\) को संतुष्ट करता है। सबसे जाना-पहचाना उदाहरण है (3, 4, 5), क्योंकि \(9 + 16 = 25\) होता है। यह कैलकुलेटर शास्त्रीय यूक्लिड सूत्र की मदद से दो प्रारंभिक पूर्णांकों से ऐसे त्रिक अपने आप बना देता है।
जनरेटर का उपयोग कैसे करें
दो पूर्ण संख्याएँ m और n दर्ज करें, जहाँ m, n से बड़ा हो (दोनों कम से कम 1 हों और m कम से कम 2 हो)। 'गणना करें' दबाते ही टूल त्रिक (a, b, c) के साथ-साथ उपयोग किए गए m और n के मान भी दिखा देता है। भुजाओं को इस तरह क्रमित किया जाता है कि छोटी भुजा पहले दिखे।
सूत्र की व्याख्या
यूक्लिड सूत्र कहता है कि किन्हीं भी पूर्णांकों \(m > n > 0\) के लिए, मान $$\left(a,\,b,\,c\right) = \left(\text{m}^2 - \text{n}^2,\ \ 2\,\text{m}\,\text{n},\ \ \text{m}^2 + \text{n}^2\right)$$ हमेशा एक पाइथागोरस त्रिक बनाते हैं। जब m और n सहअभाज्य (coprime) हों और दोनों विषम न हों, तो परिणाम एक मूल त्रिक (primitive triple) होता है — यानी ऐसा त्रिक जिसे किसी उभयनिष्ठ गुणनखंड से और छोटा नहीं किया जा सकता। अन्यथा यह त्रिक किसी मूल त्रिक का गुणित (scaled) रूप होता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(m = 2\) और \(n = 1\)। तब $$a = 4 - 1 = 3, \quad b = 2 \times 2 \times 1 = 4, \quad c = 4 + 1 = 5$$ परिणाम है (3, 4, 5)। जाँचें: \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\)। इसी तरह \(m = 3\), \(n = 2\) लेने पर \(a = 5\), \(b = 12\), \(c = 13\) मिलता है — यानी प्रसिद्ध (5, 12, 13) त्रिक।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
m का n से बड़ा होना क्यों ज़रूरी है? यदि \(n \geq m\) हो, तो भुजा \(a = m^2 - n^2\) शून्य या ऋणात्मक हो जाएगी, जो किसी भुजा की वैध लंबाई नहीं हो सकती।
क्या इससे हर त्रिक मिल जाता है? यूक्लिड सूत्र हर मूल त्रिक को ठीक एक बार बनाता है (विपरीत सम-विषमता वाले सहअभाज्य m, n के साथ), और बाकी सभी त्रिक उनके गुणित रूपों में मिल जाते हैं।
क्या (a, b, c) और (b, a, c) एक ही हैं? दोनों भुजाएँ आपस में बदली जा सकती हैं; एकरूपता के लिए यह टूल छोटी भुजा को पहले दिखाता है।
