ピタゴラス数とは？
ピタゴラス数とは、三平方の定理 \(a^2 + b^2 = c^2\) を満たす3つの正の整数の組（a, b, c）のことです。最もよく知られた例が（3, 4, 5）で、実際に \(9 + 16 = 25\) となります。この計算機は、古典的なユークリッドの公式を用いて、2つの整数を「種」として自動的にピタゴラス数を生成します。
使い方
2つの整数 \(m\) と \(n\) を入力します。条件は \(m\) が \(n\) より大きいこと（どちらも1以上、\(m\) は2以上）です。「計算する」を押すと、使用した \(m\) と \(n\) の値とともに、三つ組（a, b, c）が表示されます。2辺は、短いほうの辺が先に来るように並べ替えて表示されます。
公式の解説
ユークリッドの公式によれば、\(m > n > 0\) を満たす任意の整数について、\(a = m^2 - n^2\)、\(b = 2mn\)、\(c = m^2 + n^2\) の値は必ずピタゴラス数になります。$$\left(a,\,b,\,c\right) = \left(\text{m}^2 - \text{n}^2,\ \ 2\,\text{m}\,\text{n},\ \ \text{m}^2 + \text{n}^2\right)$$\(m\) と \(n\) が互いに素で、かつ両方が奇数でない場合、得られる三つ組は「原始ピタゴラス数」（共通の因数で約分できない組）になります。それ以外の場合は、原始ピタゴラス数を定数倍したものになります。
計算例
\(m = 2\)、\(n = 1\) とすると、$$a = 4 - 1 = 3,\quad b = 2 \times 2 \times 1 = 4,\quad c = 4 + 1 = 5$$となり、結果は（3, 4, 5）です。検算すると $$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$$で確かに成り立ちます。\(m = 3\)、\(n = 2\) を選ぶと \(a = 5\)、\(b = 12\)、\(c = 13\) となり、よく知られた（5, 12, 13）の組が得られます。
よくある質問
なぜ \(m\) は \(n\) より大きくなければならないのですか？ もし \(n \geq m\) だと、辺 \(a = m^2 - n^2\) が0または負の値になってしまい、辺の長さとして成立しないためです。
この公式ですべての三つ組が得られますか？ ユークリッドの公式は、互いに素で偶奇の異なる \(m, n\) を用いることで、すべての原始ピタゴラス数をちょうど1回ずつ生成します。そして、すべてのピタゴラス数はそれを定数倍した形として現れます。
（a, b, c）と（b, a, c）は同じですか？ 2つの辺は入れ替え可能で、本質的に同じ組です。この計算機では、一貫性を保つために短いほうの辺を先に表示しています。
