ما هي ثلاثية فيثاغورس؟
ثلاثية فيثاغورس هي مجموعة مكوّنة من ثلاثة أعداد صحيحة موجبة (a, b, c) تحقّق نظرية فيثاغورس \(a^2 + b^2 = c^2\). وأشهر مثال عليها هو الثلاثية (3، 4، 5)، حيث إن \(9 + 16 = 25\). تقوم هذه الحاسبة بتوليد مثل هذه الثلاثيات تلقائيًا انطلاقًا من عددين أوليين باستخدام صيغة إقليدس الكلاسيكية.
كيفية استخدام المولّد
أدخل عددين صحيحين m و n بحيث يكون m أكبر من n (وكلاهما لا يقلّ عن 1، مع كون m لا يقلّ عن 2). اضغط على زر الحساب، فتُعيد الأداة الثلاثية (a, b, c) إلى جانب قيمتي m و n المستخدمتين. وتُرتَّب الضلعان القائمان بحيث يظهر الضلع الأقصر أولًا.
شرح الصيغة
تنصّ صيغة إقليدس على أنه لأي عددين صحيحين \(m > n > 0\)، فإن القيم التالية:
$$\left(a,\,b,\,c\right) = \left(\text{m}^2 - \text{n}^2,\ \ 2\,\text{m}\,\text{n},\ \ \text{m}^2 + \text{n}^2\right)$$تشكّل دائمًا ثلاثية فيثاغورس:
$$\begin{gathered} a^2 + b^2 = c^2 \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} a &= \text{m}^2 - \text{n}^2 \\ b &= 2\,\text{m}\,\text{n} \\ c &= \text{m}^2 + \text{n}^2 \end{aligned} \right. \end{gathered}$$وعندما يكون m و n أوليين فيما بينهما وليسا فرديين معًا، تكون النتيجة ثلاثية بدائية (أي لا يمكن اختزالها بعامل مشترك). وفي ما عدا ذلك تكون الثلاثية مضاعفًا مكبّرًا لثلاثية بدائية.
مثال محلول
لنأخذ \(m = 2\) و \(n = 1\). عندئذٍ يكون:
$$a = 4 - 1 = 3, \quad b = 2 \times 2 \times 1 = 4, \quad c = 4 + 1 = 5$$والنتيجة هي (3، 4، 5). للتحقّق:
$$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$$وباختيار \(m = 3\) و \(n = 2\) نحصل على \(a = 5\)، و \(b = 12\)، و \(c = 13\) — وهي الثلاثية الشهيرة (5، 12، 13).
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن يكون m أكبر من n؟ إذا كان \(n \geq m\)، فسيكون الضلع \(a = m^2 - n^2\) مساويًا للصفر أو سالبًا، وهو ما لا يصلح أن يكون طولًا لضلع.
هل تعطي هذه الصيغة كل الثلاثيات؟ تولّد صيغة إقليدس كل ثلاثية بدائية مرة واحدة بالضبط (عندما يكون m و n أوليين فيما بينهما ومختلفي الزوجية)، وتظهر جميع الثلاثيات الأخرى بوصفها نسخًا مكبّرة منها.
هل الثلاثية (a, b, c) هي نفسها (b, a, c)؟ الضلعان القائمان قابلان للتبادل؛ وتكتفي هذه الأداة بعرض الضلع الأصغر أولًا توخّيًا للاتساق.
