¿Qué es una terna pitagórica?
Una terna pitagórica es un conjunto de tres números enteros positivos (a, b, c) que cumplen el teorema de Pitágoras: \(a^2 + b^2 = c^2\). El ejemplo más conocido es (3, 4, 5), ya que \(9 + 16 = 25\). Esta calculadora genera estas ternas de forma automática a partir de dos números enteros iniciales utilizando la clásica fórmula de Euclides.
Cómo usar el generador
Introduce dos números enteros m y n, con m mayor que n (ambos como mínimo 1 y m al menos 2). Pulsa calcular y la herramienta te devolverá la terna (a, b, c) junto con los valores de m y n empleados. Los catetos se ordenan de modo que el más corto aparece primero.
La fórmula explicada
La fórmula de Euclides afirma que, para cualquier par de enteros \(m > n > 0\), los valores $$\left(a,\,b,\,c\right) = \left(\text{m}^2 - \text{n}^2,\ \ 2\,\text{m}\,\text{n},\ \ \text{m}^2 + \text{n}^2\right)$$ siempre forman una terna pitagórica. Cuando m y n son coprimos y no son ambos impares, el resultado es una terna primitiva (es decir, que no puede reducirse por un factor común). En caso contrario, la terna es un múltiplo escalado de una primitiva.
Ejemplo resuelto
Tomemos \(m = 2\) y \(n = 1\). Entonces $$a = 4 - 1 = 3,\quad b = 2 \times 2 \times 1 = 4,\quad c = 4 + 1 = 5.$$ El resultado es (3, 4, 5). Comprobamos: $$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2.$$ Si elegimos \(m = 3\) y \(n = 2\) obtenemos \(a = 5\), \(b = 12\), \(c = 13\), la célebre terna (5, 12, 13).
Preguntas frecuentes
¿Por qué m debe ser mayor que n? Si \(n \geq m\), el cateto \(a = m^2 - n^2\) sería cero o negativo, lo que no constituye una longitud de lado válida.
¿Genera todas las ternas posibles? La fórmula de Euclides genera cada terna primitiva exactamente una vez (con m y n coprimos y de paridad opuesta), y todas las demás aparecen como versiones escaladas.
¿Es lo mismo (a, b, c) que (b, a, c)? Los dos catetos son intercambiables; esta herramienta simplemente muestra primero el cateto menor para mantener la coherencia.
