畢氏三元數產生器

輸入計算

m（較大整數）

n（較小整數）

結果

畢氏三元數

(3, 4, 5)

a² + b² = c²

股 a	3
股 b	4
斜邊 c	5
所用 m、n	m = 2, n = 1

什麼是畢氏三元數？

畢氏三元數是指滿足畢氏定理 \(a^2 + b^2 = c^2\) 的三個正整數 \((a, b, c)\)。最為人熟知的例子就是 \((3, 4, 5)\)，因為 \(9 + 16 = 25\)。這個計算器能依據古典的歐幾里得公式，從兩個起始整數自動產生這類三元數。

畢氏三元數描述直角三角形各邊的長度，其中 \(a^2 + b^2 = c^2\)。

產生器使用方式

請輸入兩個正整數 \(m\) 與 \(n\)，並確保 \(m\) 大於 \(n\)（兩者皆至少為 1，且 \(m\) 至少為 2）。按下計算後，工具會回傳三元數 \((a, b, c)\)，並附上所使用的 \(m\) 與 \(n\) 值。兩股會經過排序，較短的一股會先顯示。

公式詳解

歐幾里得公式指出：對任意整數 \(m > n > 0\)，數值 $$\left(a,\,b,\,c\right) = \left(\text{m}^2 - \text{n}^2,\ \ 2\,\text{m}\,\text{n},\ \ \text{m}^2 + \text{n}^2\right)$$ 必定構成一組畢氏三元數。當 \(m\) 與 \(n\) 互質且並非同為奇數時，所得結果為「本原三元數」（無法再以公因數約分的三元數）；否則該三元數即為某個本原三元數的整數倍。

$$\begin{gathered} a^2 + b^2 = c^2 \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} a &= \text{m}^2 - \text{n}^2 \\ b &= 2\,\text{m}\,\text{n} \\ c &= \text{m}^2 + \text{n}^2 \end{aligned} \right. \end{gathered}$$

歐幾里得公式將兩個整數 \(m\) 和 \(n\) 映射為三元組 \(a = m^2 - n^2\)、\(b = 2mn\)、\(c = m^2 + n^2\)。

實例演算

令 \(m = 2\)、\(n = 1\)，則 \(a = 4 - 1 = 3\)，\(b = 2 \times 2 \times 1 = 4\)，\(c = 4 + 1 = 5\)，結果為 \((3, 4, 5)\)。驗算：$$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2.$$若改取 \(m = 3\)、\(n = 2\)，則 \(a = 5\)、\(b = 12\)、\(c = 13\)，正是廣為人知的 \((5, 12, 13)\)。

常見問題

為什麼 \(m\) 一定要大於 \(n\)？若 \(n \geq m\)，則股 \(a = m^2 - n^2\) 將為零或負值，無法作為有效的邊長。

這個公式能產生所有三元數嗎？歐幾里得公式能將每一組本原三元數恰好產生一次（只要 \(m\)、\(n\) 互質且奇偶性相異），而所有三元數都會以其整數倍的形式出現。

\((a, b, c)\) 和 \((b, a, c)\) 是同一組嗎？兩股可以互換；本工具為了統一格式，一律將較短的股放在前面顯示。