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परिणाम

गुणनखंडित रूप

(-1)(4 + 6 + 9)

a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

a³ − b³ (value)	-19
a³	8
b³	27
First factor (a − b)	-1
a²	4
ab	6
b²	9

घनों का अंतर क्या है?

घनों का अंतर $a^3 - b^3$ रूप वाला कोई भी व्यंजक होता है। इसका एक निश्चित गुणनखंडन पैटर्न होता है जो इसे एक द्विपद और एक त्रिपद के गुणनफल में बदल देता है: $$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$ यह कैलकुलेटर a और b (दोनों पदों के घनमूल) के मान लेता है और तुरंत पूरा गुणनखंडित रूप, हर अलग-अलग पद, और संख्यात्मक परिणाम लौटा देता है।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

पहले पद का घनमूल a डालें और दूसरे पद का घनमूल b डालें। उदाहरण के लिए, $8x^3 - 27$ का गुणनखंड करने के लिए आप इसे $(2x)^3 - 3^3$ मानेंगे, यानी $a = 2$ और $b = 3$ (चर को अलग से साथ ले जाते हुए)। केवल संख्यात्मक प्रश्नों के लिए बस दोनों आधार संख्याएँ टाइप करें। यह टूल $(a - b)$, $a^2$, $ab$ और $b^2$ की गणना करता है, फिर गुणनखंडित उत्तर और $a^3 - b^3$ का मान जोड़कर तैयार कर देता है।

सूत्र की व्याख्या

त्रिपद गुणनखंड $a^2 + ab + b^2$ वास्तविक संख्याओं पर आगे गुणनखंडित नहीं होता (इसका विविक्तकर ऋणात्मक होता है), इसीलिए यह पैटर्न इतना उपयोगी है। चिह्न के नियम पर ध्यान दें: द्विपद में मूल व्यंजक जैसा ही वही चिह्न (ऋण) रहता है, जबकि त्रिपद हमेशा पूरी तरह धनात्मक होता है। यह घनों के योग से अलग है, जिसमें $(a + b)(a^2 - ab + b^2)$ का प्रयोग होता है।

आरेख जिसमें a घन घटा b घन को दो समूहित गुणनखंडों में विभाजित दिखाया गया है — घनों का अंतर एक द्विपद (a−b) और एक त्रिपद (a²+ab+b²) में गुणनखंडित होता है।

हल किया हुआ उदाहरण

$27 - 8$ का गुणनखंड करें। यहाँ $a^3 = 27$ है, तो $a = 3$, और $b^3 = 8$ है, तो $b = 2$। फिर $a - b = 1$, $a^2 = 9$, $ab = 6$, $b^2 = 4$। गुणनखंडित रूप है $$(3 - 2)(9 + 6 + 4) = (1)(19) = 19,$$ जो $27 - 8 = 19$ से मेल खाता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

अगर a और b बराबर हों तो? तब $a - b = 0$ हो जाता है और पूरा व्यंजक 0 हो जाता है, जिसे गुणनखंडित रूप सही ढंग से दिखाता है।

क्या a और b दशमलव या ऋणात्मक हो सकते हैं? हाँ। यह पैटर्न किसी भी वास्तविक संख्या के लिए काम करता है; कैलकुलेटर भिन्नों और ऋणात्मक संख्याओं दोनों को संभाल लेता है।

यह घनों के योग से कैसे अलग है? घनों का योग $a^3 + b^3$ गुणनखंडित होकर $(a + b)(a^2 - ab + b^2)$ बनता है — इसमें द्विपद और बीच के त्रिपद के चिह्न उलट जाते हैं।

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