Qu'est-ce qu'une différence de cubes ?
Une différence de cubes désigne toute expression de la forme \(a^{3} - b^{3}\). Elle se factorise selon un schéma fixe qui la transforme en produit d'un binôme et d'un trinôme : $$a^{3} - b^{3} = \left(a - b\right)\left(a^{2} + ab + b^{2}\right)$$ Ce calculateur prend les valeurs a et b (les racines cubiques des deux termes) et renvoie instantanément la forme entièrement factorisée, chaque terme pris séparément ainsi que le résultat numérique.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez a, la racine cubique du premier terme, et b, la racine cubique du second terme. Par exemple, pour factoriser \(8x^{3} - 27\), on l'écrit \(\left(2x\right)^{3} - 3^{3}\), soit \(a = 2\) et \(b = 3\) (la variable étant traitée à part). Pour des problèmes purement numériques, il suffit d'entrer les deux nombres de base. L'outil calcule \(\left(a - b\right)\), \(a^{2}\), \(ab\) et \(b^{2}\), puis assemble la réponse factorisée et la valeur de \(a^{3} - b^{3}\).
La formule expliquée
Le facteur trinôme \(a^{2} + ab + b^{2}\) ne se factorise jamais davantage dans l'ensemble des réels (son discriminant est négatif), ce qui rend ce schéma particulièrement utile. Attention à la règle des signes : le binôme conserve le même signe que l'expression de départ (le moins), tandis que le trinôme est toujours entièrement positif. Cela diffère de la somme de cubes, qui se factorise en \(\left(a + b\right)\left(a^{2} - ab + b^{2}\right)\).
Exemple résolu
Factorisons \(27 - 8\). Ici \(a^{3} = 27\) donc \(a = 3\), et \(b^{3} = 8\) donc \(b = 2\). On a alors \(a - b = 1\), \(a^{2} = 9\), \(ab = 6\) et \(b^{2} = 4\). La forme factorisée est $$\left(3 - 2\right)\left(9 + 6 + 4\right) = \left(1\right)\left(19\right) = 19$$ ce qui correspond bien à \(27 - 8 = 19\).
FAQ
Que se passe-t-il si a est égal à b ? Dans ce cas, \(a - b = 0\) et l'expression entière vaut 0, ce que la forme factorisée traduit correctement.
a et b peuvent-ils être des décimaux ou des nombres négatifs ? Oui. Le schéma fonctionne pour tous les nombres réels ; le calculateur gère aussi bien les fractions que les valeurs négatives.
En quoi cela diffère-t-il d'une somme de cubes ? Une somme de cubes \(a^{3} + b^{3}\) se factorise en \(\left(a + b\right)\left(a^{2} - ab + b^{2}\right)\) — les signes du binôme et du terme central du trinôme s'inversent.
