Qu'est-ce qu'un facteur d'échelle ?
Le facteur d'échelle est le nombre par lequel on multiplie les dimensions d'une figure pour obtenir une figure semblable. Lorsque deux figures sont semblables, chaque paire de longueurs correspondantes présente le même rapport : ce rapport, c'est le facteur d'échelle, généralement noté k. Un facteur supérieur à 1 produit un agrandissement, tandis qu'une valeur comprise entre 0 et 1 donne une réduction.
Comment utiliser ce calculateur
Commencez par choisir ce que vous souhaitez déterminer. Pour obtenir le facteur d'échelle, saisissez la dimension d'origine et la nouvelle dimension (mise à l'échelle) : l'outil calcule alors $$k = \frac{\text{nouveau}}{\text{original}}$$ Pour trouver une longueur manquante, indiquez la dimension que vous connaissez ainsi que le facteur d'échelle, et le calculateur résout \(\text{nouveau} = k \times \text{original}\) ou \(\text{original} = \frac{\text{nouveau}}{k}\). Le résultat affiche également le facteur d'échelle des aires, soit \(k^2\).
La formule expliquée
Pour des figures semblables, les côtés correspondants sont proportionnels : $$k = \frac{\text{nouveau}}{\text{original}}$$ En réarrangeant, on obtient \(\text{nouveau} = k \times \text{original}\) et \(\text{original} = \frac{\text{nouveau}}{k}\). Comme l'aire dépend de deux dimensions, les aires sont multipliées par \(k^2\), et les volumes par \(k^3\). Ainsi, doubler chaque longueur (\(k = 2\)) quadruple l'aire et multiplie le volume par huit.
Exemple concret
Une photo mesure 4 pouces de large et on l'agrandit jusqu'à une nouvelle largeur de 10 pouces. Le facteur d'échelle vaut donc $$k = 10 \div 4 = 2{,}5$$ Si la hauteur d'origine est de 6 pouces, la nouvelle hauteur sera de \(2{,}5 \times 6 = 15\) pouces. La photo agrandie couvre par ailleurs \(2{,}5^2 = 6{,}25\) fois la surface initiale.
Foire aux questions
Que signifie un facteur d'échelle inférieur à 1 ? Il s'agit d'une réduction : la nouvelle figure est plus petite que l'originale. Par exemple, \(k = 0{,}5\) divise chaque longueur par deux.
Comment les aires évoluent-elles avec le facteur d'échelle ? L'aire est multipliée par \(k^2\). Un facteur d'échelle de 3 rend donc la surface 9 fois plus grande.
Le facteur d'échelle peut-il être négatif ? En géométrie pure des figures semblables, on le considère comme positif. Les valeurs négatives n'apparaissent que dans les transformations de coordonnées impliquant une réflexion, ce que ce calculateur ne modélise pas.
