Qu'est-ce qu'un facteur d'échelle ?
Le facteur d'échelle (souvent noté \(k\)) est le nombre par lequel on multiplie chaque longueur d'une figure pour obtenir une figure semblable, plus grande ou plus petite. Il décrit une homothétie : lorsque \(k > 1\), la figure est agrandie ; lorsque \(0 < k < 1\), elle est réduite ; et lorsque \(k = 1\), la figure reste inchangée. On retrouve le facteur d'échelle en géométrie, sur les cartes, dans les plans d'architecte, le maquettisme et le redimensionnement d'images.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez la dimension d'origine (une longueur sur la figure de départ) et la nouvelle dimension correspondante (la longueur équivalente sur la figure transformée). Le calculateur divise la nouvelle valeur par la valeur initiale pour obtenir le facteur d'échelle linéaire \(k\), puis l'élève au carré pour le rapport des aires et au cube pour le rapport des volumes.
La formule expliquée
La relation fondamentale est $$k = \dfrac{\text{nouvelle dimension}}{\text{dimension d'origine}}$$. Comme l'aire est une grandeur à deux dimensions, elle varie selon \(k^{2}\) ; le volume étant tridimensionnel, il varie selon \(k^{3}\). Par exemple, doubler chaque longueur (\(k = 2\)) multiplie l'aire par quatre et le volume par huit.
$$\text{Rapport des aires} = k^{2} \qquad \text{Rapport des volumes} = k^{3}$$
Exemple concret
Imaginons une maquette construite à partir d'une longueur d'origine de 4 cm, à laquelle correspond une nouvelle longueur de 10 cm. On a alors $$k = 10 \div 4 = 2{,}5.$$ Le rapport des aires vaut \(2{,}5^{2} = 6{,}25\) : la nouvelle figure possède donc une surface 6,25 fois plus grande. Le rapport des volumes est \(2{,}5^{3} = 15{,}625\), soit environ 15,6 fois plus de volume.
FAQ
Que signifie un facteur d'échelle inférieur à 1 ? Cela signifie que la figure rétrécit. Par exemple, \(k = 0{,}5\) réduit de moitié chaque longueur.
Pourquoi l'aire utilise-t-elle \(k^{2}\) et non \(k\) ? L'aire dépend de deux dimensions multipliées entre elles ; chacune est multipliée par \(k\), ce qui donne \(k \times k = k^{2}\).
Puis-je utiliser n'importe quelle unité ? Oui, tant que la dimension d'origine et la nouvelle dimension sont exprimées dans la même unité, le facteur d'échelle est sans unité.
