Qu'est-ce que le facteur d'échelle d'un rectangle ?
Lorsque deux rectangles sont semblables (l'un est l'agrandissement ou la réduction de l'autre), le facteur d'échelle \(k\) correspond au rapport entre une longueur du nouveau rectangle et la longueur correspondante du rectangle d'origine. Ce calculateur détermine \(k\) à partir de n'importe quelle paire de longueurs correspondantes, puis en déduit le rapport d'aires, qui n'est autre que \(k\) au carré.
Comment utiliser ce calculateur
Indiquez la longueur initiale et la nouvelle longueur de côtés correspondants des deux rectangles. L'outil renvoie le facteur d'échelle linéaire \(k\) ainsi que le rapport d'aires \(k^{2}\). Un facteur d'échelle supérieur à 1 traduit un agrandissement ; compris entre 0 et 1, il indique une réduction.
La formule expliquée
Le facteur d'échelle linéaire se calcule tout simplement par $$\text{Facteur d'échelle} = \frac{\text{Nouvelle longueur}}{\text{Ancienne longueur}}$$ Comme l'aire est une grandeur à deux dimensions (longueur \(\times\) largeur) et que ces deux dimensions sont multipliées par \(k\), l'aire est multipliée par \(k \times k = k^{2}\). Ainsi, si l'on agrandit un rectangle avec un facteur d'échelle de 3, son aire devient \(3^{2} = 9\) fois plus grande.
Exemple concret
Imaginons un rectangle dont un côté mesure 4 cm à l'origine, tandis que le rectangle agrandi présente un côté correspondant de 12 cm. On obtient alors $$k = 12 \div 4 = 3$$ Le rapport d'aires vaut \(k^{2} = 3^{2} = 9\) : le nouveau rectangle a donc une aire 9 fois supérieure à celle du rectangle d'origine.
Foire aux questions
Le choix du côté a-t-il une importance ? Non : pour des rectangles semblables, toutes les paires de côtés correspondants donnent le même facteur d'échelle.
Que se passe-t-il si \(k\) est inférieur à 1 ? Cela signale une réduction. Par exemple, \(k = 0{,}5\) indique que le nouveau rectangle est deux fois plus petit dans chaque direction et que son aire est divisée par quatre.
Comment mettre le périmètre à l'échelle ? Le périmètre évolue de façon linéaire : le nouveau périmètre vaut \(k\) fois l'ancien (et non \(k^{2}\)).
