矩形比例因子計算器

輸入計算

原始邊長

新邊長

數學公式

Show calculation steps (1)

1. Area Ratio

   

   Area ratio equals the square of the scale factor

結果

比例因子（k）

3

線性比例因子

線性比例因子（k）	3
面積比（k²）	9

什麼是矩形比例因子？

當兩個矩形相似時（也就是其中一個是另一個放大或縮小後的結果），比例因子 \(k\) 就是新圖形上某條邊長與原圖形對應邊長的比值。本計算器能依任一組對應邊長求出 \(k\)，並接著算出面積比，也就是 \(k\) 的平方。

比例因子 \(k\) 與每條邊長相乘，將原矩形映射為新矩形。

如何使用這個計算器

請輸入兩個矩形對應邊的原始邊長與新邊長。工具會回傳線性比例因子 \(k\) 與面積比 \(k^2\)。比例因子大於 1 代表放大；介於 0 與 1 之間則代表縮小。

公式解析

線性比例因子其實就是 $$k = \frac{\text{新邊長}}{\text{原邊長}}$$ 由於面積是二維量（長 \(\times\) 寬），而長與寬都同時放大 \(k\) 倍，因此面積會乘上 \(k \times k = k^2\)。換句話說，若矩形放大為原來的 3 倍，面積便會變成 \(3^2 = 9\) 倍。

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面積按線性比例因子的平方縮放，因此面積比為 \(k^2\)。

實際範例

假設一個矩形的原始邊長為 4 公分，放大後的矩形對應邊長為 12 公分，則 \(k = 12 \div 4 = 3\)。面積比為 $$k^2 = 3^2 = 9$$ 代表新矩形的面積是原矩形的 9 倍。

常見問題

用哪一條邊有差嗎？沒有差別——對相似矩形而言，任何一組對應邊都會得到相同的比例因子。

如果 \(k\) 小於 1 呢？這代表縮小；例如 \(k = 0.5\) 表示新矩形在每個方向都是原來的一半，面積則是原來的四分之一。

周長要怎麼換算？周長是線性縮放的，所以新周長等於原周長的 \(k\) 倍（不是 \(k^2\)）。