Что такое коэффициент масштаба?
Коэффициент масштаба (его обычно обозначают буквой \(k\)) — это число, на которое умножается каждая длина фигуры, чтобы получить подобную фигуру большего или меньшего размера. Он задаёт гомотетию: при \(k > 1\) фигура увеличивается, при \(0 < k < 1\) — уменьшается, а при \(k = 1\) остаётся без изменений. Коэффициент масштаба встречается в геометрии, на картах и чертежах, при сборке моделей и изменении размера изображений.
Как пользоваться калькулятором
Введите исходный размер (длину на начальной фигуре) и соответствующий ему новый размер (ту же длину на масштабированной фигуре). Калькулятор разделит новое значение на исходное и получит линейный коэффициент масштаба \(k\), затем возведёт его в квадрат для отношения площадей и в куб для отношения объёмов.
Разбор формулы
Главное соотношение выглядит так:
$$k = \dfrac{\text{новый размер}}{\text{исходный размер}}$$Поскольку площадь — двумерная величина, она меняется в \(k^{2}\) раз; объём трёхмерен, поэтому он меняется в \(k^{3}\) раз. Например, если удвоить каждую длину (\(k = 2\)), площадь вырастет в четыре раза, а объём — в восемь раз.
Пример расчёта
Допустим, модель построена по исходной длине 4 см, а соответствующая новая длина равна 10 см. Тогда
$$k = 10 \div 4 = 2{,}5$$Отношение площадей равно
$$2{,}5^{2} = 6{,}25$$— то есть площадь поверхности новой фигуры в 6,25 раза больше. Отношение объёмов составляет
$$2{,}5^{3} = 15{,}625$$поэтому объём примерно в 15,6 раза больше.
Частые вопросы
Что означает коэффициент масштаба меньше 1? Это значит, что фигура уменьшается. Например, при \(k = 0{,}5\) каждая длина сокращается вдвое.
Почему для площади берут \(k^{2}\), а не \(k\)? Площадь зависит от произведения двух измерений, и каждое из них умножается на \(k\), поэтому получается \(k \times k = k^{2}\).
Можно ли использовать любые единицы измерения? Да, главное — чтобы исходный и новый размеры были в одинаковых единицах; тогда коэффициент масштаба получается безразмерным.
