¿Qué es un factor de escala?
El factor de escala (que solemos representar con la letra k) es el número por el que multiplicas cada longitud de una figura para obtener otra figura semejante, ya sea más grande o más pequeña. Describe una dilatación: cuando \(k > 1\) la figura se amplía, cuando \(0 < k < 1\) se reduce y cuando \(k = 1\) la figura se mantiene igual. Los factores de escala aparecen en geometría, mapas, planos, maquetas y al redimensionar imágenes.
Cómo usar esta calculadora
Introduce la dimensión original (una longitud de la figura de partida) y la dimensión nueva correspondiente (la misma longitud en la figura ya escalada). La calculadora divide el valor nuevo entre el original para obtener el factor de escala lineal \(k\); después lo eleva al cuadrado para la razón de áreas y al cubo para la razón de volúmenes.
La fórmula explicada
La relación clave es $$k = \dfrac{\text{dimensión nueva}}{\text{dimensión original}}$$ Como el área es una medida bidimensional, se escala con \(k^2\); el volumen es tridimensional, así que se escala con \(k^3\). Por ejemplo, si duplicas todas las longitudes (\(k = 2\)), el área se vuelve cuatro veces mayor y el volumen, ocho veces mayor.
Ejemplo resuelto
Imagina que construyes una maqueta a partir de una longitud original de 4 cm y que la longitud nueva correspondiente es de 10 cm. Entonces $$k = 10 \div 4 = 2{,}5$$ La razón de áreas es \(2{,}5^2 = 6{,}25\), lo que significa que la figura nueva tiene 6,25 veces la superficie. La razón de volúmenes es \(2{,}5^3 = 15{,}625\), así que su volumen es unas 15,6 veces mayor.
Preguntas frecuentes
¿Qué significa un factor de escala menor que 1? Significa que la figura se reduce. Por ejemplo, con \(k = 0{,}5\) cada longitud se reduce a la mitad.
¿Por qué el área usa k² y no k? El área depende de dos dimensiones que se multiplican entre sí, de modo que cada una se escala por \(k\), lo que da \(k \times k = k^2\).
¿Puedo usar cualquier unidad? Sí, siempre que la dimensión original y la nueva estén en la misma unidad. El factor de escala no tiene unidades.
