¿Qué es un segmento parabólico?
Un segmento parabólico, también llamado arco de parábola, es la región plana delimitada por una parábola y la cuerda recta que la corta. Imagina una parábola que se abre hacia abajo con su vértice en la parte superior: la cuerda es la línea que une los dos puntos donde la parábola la cruza. La figura es simétrica respecto al eje que pasa por el vértice. Aparece constantemente en la ingeniería y el diseño: los puentes en arco, el perfil de los cables de los puentes colgantes, las antenas parabólicas y los arcos arquitectónicos siguen curvas parabólicas.
Cómo usar esta calculadora
Introduce solo dos medidas en cualquier unidad de longitud coherente (milímetros, centímetros, metros, pulgadas o pies; lo importante es no mezclarlas):
Altura a: la distancia perpendicular desde la cuerda hasta el vértice (la cima) de la parábola.
Longitud de la cuerda b: la distancia en línea recta entre los dos extremos de la cuerda.
La calculadora devuelve el área encerrada S (en tu unidad de longitud al cuadrado), la longitud de arco L (solo de la parte curva) y el perímetro completo L + b (la curva más la cuerda).
Las fórmulas explicadas
El área se deduce del célebre resultado de Arquímedes según el cual un segmento parabólico ocupa exactamente dos tercios del rectángulo que lo contiene: $$S = \frac{2}{3}\,a\cdot b$$. La longitud de arco se obtiene integrando la curva de la parábola. Define el valor auxiliar \(s = \sqrt{b^{2} + 16a^{2}}\); entonces $$L = \frac{1}{2}\,s + \frac{b^{2}}{8a}\,\ln\!\left(\frac{4a + s}{b}\right)$$, donde \(\ln\) es el logaritmo natural. El término \(4a\) refleja que la pendiente de la parábola en cada extremo es \(\frac{4a}{b}\).
Ejemplo resuelto
Tomemos \(a = 2\) y \(b = 1\). Área: $$S = \frac{2}{3}\cdot 2\cdot 1 = 1{,}33333.$$ Para la longitud de arco, \(s = \sqrt{1 + 16\cdot 4} = \sqrt{65} = 8{,}06226\). Después \(\frac{1}{2}\cdot s = 4{,}03113\), \(\frac{b^{2}}{8a} = \frac{1}{16} = 0{,}0625\) y \(\frac{4a + s}{b} = 16{,}06226\) con \(\ln = 2{,}77636\), lo que da un segundo término de \(0{,}17352\). Así que $$L = 4{,}03113 + 0{,}17352 = 4{,}20465.$$
Preguntas frecuentes
¿Incluye L la cuerda recta? No: L es únicamente la longitud de la curva parabólica. El perímetro completo del segmento es \(L + b\), que también se muestra.
¿Qué pasa si la altura es cero? El segmento degenera en una línea recta: el área vale 0 y la longitud de arco se reduce a la longitud de la cuerda b.
¿Qué unidades debo usar? Cualquier unidad de longitud única. El área resulta en esa unidad al cuadrado y las longitudes en esa misma unidad, de modo que las fórmulas se aplican directamente a los números que introduzcas.
