¿Qué es la longitud de arco?
La longitud de arco es la distancia medida a lo largo del borde curvo de una circunferencia entre dos puntos. Depende de dos factores: el tamaño de la circunferencia (su radio) y la amplitud de la porción que abarca (el ángulo central). Esta calculadora funciona con cualquier circunferencia y cualquier ángulo, y devuelve la longitud de arco en las mismas unidades que uses para el radio.
Cómo usar esta calculadora
Introduce el radio de la circunferencia y el ángulo central que abarca el arco. Elige si el ángulo está expresado en grados o en radianes y obtendrás directamente la longitud de arco. La herramienta también te muestra el ángulo equivalente en la otra unidad, la circunferencia completa y la cuerda, es decir, la línea recta que une los extremos del arco.
La fórmula explicada
Cuando el ángulo θ está en radianes, la longitud de arco es simplemente $$s = r \times \theta$$ Esto funciona porque un radián se define precisamente como el ángulo que delimita un arco igual al radio. Cuando el ángulo está en grados, basta con tratar el arco como una fracción de la circunferencia completa: $$s = 2\pi r \times \frac{\theta^\circ}{360}$$ Ambas expresiones dan exactamente el mismo resultado, ya que \(360^\circ = 2\pi\) radianes.
Ejemplo resuelto
Imagina una circunferencia con un radio de 5 unidades y un ángulo central de 90°. La circunferencia completa mide \(2\pi \times 5 \approx 31{,}4159\). Noventa grados equivalen a un cuarto de la circunferencia, así que la longitud de arco es $$31{,}4159 \times \frac{90}{360} = 7{,}85398 \text{ unidades}.$$ De forma equivalente, \(90^\circ = \pi/2 \approx 1{,}5708\) radianes, y \(5 \times 1{,}5708 = 7{,}85398\).
Longitudes de Arco Comunes para Ángulos Estándar
La longitud de arco de un círculo se encuentra con la fórmula \(L = r\theta\), donde \(\theta\) es el ángulo central en radianes. Si su ángulo está en grados, primero conviértalo con \(\theta_{rad} = \theta_{deg} \times \frac{\pi}{180}\). Dado que el círculo completo (360°) tiene circunferencia \(2\pi r\), cada ángulo cubre una fracción simple de esa circunferencia.
La tabla a continuación enumera los ángulos más comunes, sus equivalentes en radianes, la longitud de arco expresada como una fracción de la circunferencia, y la longitud de arco real para un círculo unitario (\(r=1\)).
| Ángulo (grados) | Ángulo (radianes) | Fracción del círculo | Longitud de arco (general) | Longitud de arco, r = 1 |
|---|---|---|---|---|
| 30° | \(\pi/6\) | 1/12 | \(\pi r/6\) | 0.5236 |
| 45° | \(\pi/4\) | 1/8 | \(\pi r/4\) | 0.7854 |
| 60° | \(\pi/3\) | 1/6 | \(\pi r/3\) | 1.0472 |
| 90° | \(\pi/2\) | 1/4 | \(\pi r/2\) | 1.5708 |
| 120° | \(2\pi/3\) | 1/3 | \(2\pi r/3\) | 2.0944 |
| 180° | \(\pi\) | 1/2 | \(\pi r\) | 3.1416 |
| 270° | \(3\pi/2\) | 3/4 | \(3\pi r/2\) | 4.7124 |
| 360° | \(2\pi\) | 1 (círculo completo) | \(2\pi r\) | 6.2832 |
Para cualquier otro radio, multiplique el valor \(r=1\) por su radio. Por ejemplo, un arco de 90° en un círculo de radio 5 tiene longitud \(5 \times 1.5708 = 7.854\).
Preguntas frecuentes
¿En qué unidades se expresa el resultado? La longitud de arco se obtiene en las mismas unidades que el radio: si introduces centímetros, el resultado estará en centímetros.
¿Cómo paso de grados a radianes? Multiplica los grados por \(\pi/180\). Por ejemplo, \(180^\circ = \pi \approx 3{,}14159\) radianes.
¿Qué es la longitud de la cuerda? La cuerda es la línea recta que une los dos extremos del arco y se calcula como \(2r \cdot \operatorname{sen}(\theta/2)\). Siempre es más corta que el arco.
