호 길이란?
호 길이는 원 위의 두 점 사이를 곡선을 따라 잰 거리를 말합니다. 이 길이는 두 가지 요소에 따라 달라지는데, 하나는 원의 크기(반지름)이고 다른 하나는 부채꼴의 벌어진 정도(중심각)입니다. 이 계산기는 어떤 크기의 원이든, 어떤 각도든 적용할 수 있으며, 반지름에 사용한 단위와 동일한 단위로 호 길이를 알려 줍니다.
계산기 사용 방법
원의 반지름과 호가 마주하는 중심각을 입력하세요. 각도의 단위를 도(°)로 할지 라디안으로 할지 선택한 다음 호 길이를 확인하면 됩니다. 이 도구는 입력한 각도를 다른 단위로 환산한 값, 원의 전체 둘레, 그리고 호의 양 끝점을 직선으로 이은 현의 길이까지 함께 보여 줍니다.
공식 풀이
각도 \(\theta\)가 라디안일 때 호 길이는 간단히 다음과 같이 구합니다.
$$s = r \times \theta$$이는 라디안이 '반지름과 같은 길이의 호를 잘라 내는 각도'로 정의되기 때문입니다. 각도가 도(°) 단위일 때는 호를 원 전체의 일부로 보고 비율로 환산합니다.
$$s = 2\pi r \times \frac{\theta^\circ}{360}$$이 식을 쓰면 됩니다. \(360^\circ = 2\pi\) 라디안이므로 두 식은 항상 같은 결과를 냅니다.
예제로 풀어 보기
반지름이 5단위이고 중심각이 90°인 원을 가정해 봅시다. 전체 둘레는 \(2\pi \times 5 \approx 31.4159\)입니다. 90도는 원의 4분의 1에 해당하므로 호 길이는 다음과 같이 됩니다.
$$31.4159 \times \frac{90}{360} = 7.85398 \text{단위}$$같은 방식으로 계산하면 \(90^\circ = \pi/2 \approx 1.5708\) 라디안이고, \(5 \times 1.5708 = 7.85398\)로 동일한 값이 나옵니다.
표준 각도의 공통 호의 길이
원의 호의 길이는 공식 \(L = r\theta\)로 구하며, 여기서 \(\theta\)는 중심각이며 라디안 단위입니다. 각도가 도(度) 단위인 경우, 먼저 \(\theta_{rad} = \theta_{deg} \times \frac{\pi}{180}\)로 변환하세요. 전체 원(360°)의 둘레는 \(2\pi r\)이므로, 각 각도는 그 둘레의 간단한 분수를 차지합니다.
아래 표는 가장 일반적인 각도, 그에 해당하는 라디안 값, 둘레의 분수로 표현된 호의 길이, 그리고 단위원(\(r=1\))에 대한 실제 호의 길이를 나열합니다.
| 각도(도) | 각도(라디안) | 원의 분수 | 호의 길이(일반) | 호의 길이, r = 1 |
|---|---|---|---|---|
| 30° | \(\pi/6\) | 1/12 | \(\pi r/6\) | 0.5236 |
| 45° | \(\pi/4\) | 1/8 | \(\pi r/4\) | 0.7854 |
| 60° | \(\pi/3\) | 1/6 | \(\pi r/3\) | 1.0472 |
| 90° | \(\pi/2\) | 1/4 | \(\pi r/2\) | 1.5708 |
| 120° | \(2\pi/3\) | 1/3 | \(2\pi r/3\) | 2.0944 |
| 180° | \(\pi\) | 1/2 | \(\pi r\) | 3.1416 |
| 270° | \(3\pi/2\) | 3/4 | \(3\pi r/2\) | 4.7124 |
| 360° | \(2\pi\) | 1 (전체 원) | \(2\pi r\) | 6.2832 |
다른 반지름의 경우, \(r=1\) 값에 반지름을 곱하세요. 예를 들어, 반지름이 5인 원에서 90° 호의 길이는 \(5 \times 1.5708 = 7.854\)입니다.
자주 묻는 질문
결과의 단위는 무엇인가요? 호 길이는 반지름에 사용한 단위와 동일하게 나옵니다. 센티미터로 입력하면 결과도 센티미터로 표시됩니다.
도(°)를 라디안으로 어떻게 바꾸나요? 도 값에 \(\pi/180\)을 곱하면 됩니다. 따라서 \(180^\circ = \pi \approx 3.14159\) 라디안입니다.
현의 길이는 무엇인가요? 현은 호의 양 끝점을 잇는 직선으로, \(2r\cdot\sin(\theta/2)\)로 계산합니다. 현의 길이는 언제나 호 길이보다 짧습니다.
