Yay uzunluğu nedir?
Yay uzunluğu, bir çemberin eğri kenarı boyunca iki nokta arasındaki mesafedir. İki şeye bağlıdır: çemberin büyüklüğü (yarıçapı) ve dilimin genişliği (merkez açısı). Bu hesaplama aracı her çember ve her açı için çalışır ve yay uzunluğunu yarıçapta kullandığınız birimle aynı birimde verir.
Hesaplama aracını nasıl kullanırsınız?
Çemberin yarıçapını ve yayın gördüğü merkez açısını girin. Açının derece mi yoksa radyan cinsinden mi olduğunu seçin ve yay uzunluğunu doğrudan okuyun. Araç ayrıca açının diğer birimdeki karşılığını, çemberin tam çevresini ve yayın uç noktalarını birleştiren düz çizgi olan kiriş uzunluğunu da gösterir.
Formülün açıklaması
θ açısı radyan cinsinden olduğunda yay uzunluğu basitçe $$s = r \times \theta$$ şeklindedir. Bu işe yarar çünkü radyan, yarıçapa eşit bir yay kesen açı olarak tanımlanır. Açı derece cinsinden olduğunda ise yayı tüm çemberin bir kesri olarak ele alarak dönüştürün: $$s = 2\pi r \times \frac{\theta^\circ}{360}$$. Her iki biçim de aynı sonucu verir, çünkü \(360^\circ = 2\pi\) radyandır.
Çözümlü örnek
Diyelim ki bir çemberin yarıçapı 5 birim ve merkez açısı 90°. Tam çevre \(2\pi \times 5 \approx 31{,}4159\)'dur. Doksan derece çemberin dörtte biridir, dolayısıyla yay uzunluğu $$31{,}4159 \times \frac{90}{360} = 7{,}85398$$ birimdir. Aynı şekilde \(90^\circ = \pi/2 \approx 1{,}5708\) radyan eder ve \(5 \times 1{,}5708 = 7{,}85398\) olur.
Standart Açılar için Ortak Yay Uzunlukları
Bir dairenin yay uzunluğu \(L = r\theta\) formülü ile bulunur; burada \(\theta\) merkez açısıdır radyan cinsinden. Açınız derece cinsindense, önce \(\theta_{rad} = \theta_{der} \times \frac{\pi}{180}\) ile dönüştürün. Tam daire (360°) çevresi \(2\pi r\) olduğundan, her açı bu çevrenin basit bir kesrini kaplar.
Aşağıdaki tablo en yaygın açıları, radyan eşdeğerlerini, yay uzunluğunu çevrenin bir kesri olarak ve birim daire (\(r=1\)) için gerçek yay uzunluğunu listeler.
| Açı (derece) | Açı (radyan) | Dairenin kesri | Yay uzunluğu (genel) | Yay uzunluğu, r = 1 |
|---|---|---|---|---|
| 30° | \(\pi/6\) | 1/12 | \(\pi r/6\) | 0.5236 |
| 45° | \(\pi/4\) | 1/8 | \(\pi r/4\) | 0.7854 |
| 60° | \(\pi/3\) | 1/6 | \(\pi r/3\) | 1.0472 |
| 90° | \(\pi/2\) | 1/4 | \(\pi r/2\) | 1.5708 |
| 120° | \(2\pi/3\) | 1/3 | \(2\pi r/3\) | 2.0944 |
| 180° | \(\pi\) | 1/2 | \(\pi r\) | 3.1416 |
| 270° | \(3\pi/2\) | 3/4 | \(3\pi r/2\) | 4.7124 |
| 360° | \(2\pi\) | 1 (tam daire) | \(2\pi r\) | 6.2832 |
Başka bir yarıçap için, \(r=1\) değerini yarıçapınızla çarpın. Örneğin, yarıçapı 5 olan bir dairede 90° yayının uzunluğu \(5 \times 1.5708 = 7.854\) olur.
Sıkça Sorulan Sorular
Sonuç hangi birimde çıkar? Yay uzunluğu, yarıçapla aynı birimde verilir — santimetre girerseniz santimetre alırsınız.
Dereceyi radyana nasıl çeviririm? Dereceyi \(\pi/180\) ile çarpın. Yani \(180^\circ = \pi \approx 3{,}14159\) radyan eder.
Kiriş uzunluğu nedir? Kiriş, yayın iki uç noktası arasındaki düz çizgidir ve \(2r \cdot \sin(\theta/2)\) ile hesaplanır. Her zaman yaydan daha kısadır.
