ما هو طول القوس؟
طول القوس هو المسافة المقاسة على طول الحافة المنحنية للدائرة بين نقطتين عليها. ويعتمد على عاملين اثنين: حجم الدائرة (أي نصف قطرها)، واتساع الجزء المقتطع منها (أي الزاوية المركزية). تعمل هذه الحاسبة مع أي دائرة وأي زاوية، وتعطيك طول القوس بالوحدة نفسها التي تستخدمها لنصف القطر.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل نصف قطر الدائرة والزاوية المركزية التي يقابلها القوس، ثم اختر ما إذا كانت الزاوية مقاسة بالدرجات أو بالراديان، لتظهر لك قيمة طول القوس مباشرةً. كما تعرض الأداة الزاوية مكافِئةً بالوحدة الأخرى، إضافةً إلى محيط الدائرة الكامل وطول الوتر المستقيم الواصل بين طرفَي القوس.
شرح المعادلة
عندما تكون الزاوية θ مقاسة بالراديان، يُحسب طول القوس ببساطة عبر العلاقة $$\text{س} = \text{نق} \times \theta$$ ويصح ذلك لأن الراديان مُعرَّف على أنه الزاوية التي تقتطع قوسًا يساوي طوله نصف القطر. أما إذا كانت الزاوية بالدرجات، فنحوّلها بالتعامل مع القوس كنسبة من الدائرة الكاملة: $$\text{س} = 2\pi\,\text{نق} \times \left(\frac{\theta^\circ}{360}\right)$$ وتعطي الصيغتان النتيجة نفسها تمامًا، لأن \(360^\circ\) تساوي \(2\pi\) راديان.
مثال محلول
لنفترض أن لدينا دائرة نصف قطرها 5 وحدات وزاوية مركزية مقدارها 90°. يكون المحيط الكامل \(2\pi \times 5 \approx 31.4159\). وبما أن تسعين درجة تمثّل رُبع الدائرة، فإن طول القوس يساوي $$31.4159 \times \left(\frac{90}{360}\right) = 7.85398 \text{ وحدة}$$ وبالطريقة نفسها، فإن \(90^\circ\) تعادل \(\frac{\pi}{2} \approx 1.5708\) راديان، ويكون \(5 \times 1.5708 = 7.85398\).
أطوال الأقواس الشائعة للزوايا المعيارية
يتم إيجاد طول القوس في دائرة باستخدام الصيغة \(L = r\theta\)، حيث \(\theta\) هي الزاوية المركزية بالـ راديان. إذا كانت الزاوية بالدرجات، قم أولاً بتحويلها باستخدام \(\theta_{rad} = \theta_{deg} \times \frac{\pi}{180}\). لأن الدائرة الكاملة (360°) لها محيط \(2\pi r\)، فإن كل زاوية تغطي جزءاً بسيطاً من ذلك المحيط.
الجدول أدناه يسرد الزوايا الأكثر شيوعاً، وما يكافئها بالراديان، وطول القوس المعبّر عنه كجزء من المحيط، وطول القوس الفعلي لدائرة الوحدة (\(r=1\)).
| الزاوية (بالدرجات) | الزاوية (بالراديان) | جزء من الدائرة | طول القوس (عام) | طول القوس، r = 1 |
|---|---|---|---|---|
| 30° | \(\pi/6\) | 1/12 | \(\pi r/6\) | 0.5236 |
| 45° | \(\pi/4\) | 1/8 | \(\pi r/4\) | 0.7854 |
| 60° | \(\pi/3\) | 1/6 | \(\pi r/3\) | 1.0472 |
| 90° | \(\pi/2\) | 1/4 | \(\pi r/2\) | 1.5708 |
| 120° | \(2\pi/3\) | 1/3 | \(2\pi r/3\) | 2.0944 |
| 180° | \(\pi\) | 1/2 | \(\pi r\) | 3.1416 |
| 270° | \(3\pi/2\) | 3/4 | \(3\pi r/2\) | 4.7124 |
| 360° | \(2\pi\) | 1 (الدائرة الكاملة) | \(2\pi r\) | 6.2832 |
لأي نصف قطر آخر، اضرب قيمة \(r=1\) في نصف القطر الخاص بك. على سبيل المثال، قوس بزاوية 90° على دائرة نصف قطرها 5 له طول \(5 \times 1.5708 = 7.854\).
الأسئلة الشائعة
ما هي وحدة قياس النتيجة؟ يظهر طول القوس بالوحدة نفسها المستخدمة لنصف القطر؛ فإذا أدخلت القيمة بالسنتيمترات حصلت على النتيجة بالسنتيمترات.
كيف أحوّل الدرجات إلى راديان؟ اضرب عدد الدرجات في \(\frac{\pi}{180}\). وبذلك تكون \(180^\circ\) مساوية لـ \(\pi \approx 3.14159\) راديان.
ما هو طول الوتر؟ الوتر هو الخط المستقيم الواصل بين طرفَي القوس، ويُحسب بالعلاقة \(2\,\text{نق} \times \sin(\theta/2)\). وهو دائمًا أقصر من القوس نفسه.
