ما الذي تقوم به حاسبة طول القوس
تحسب هذه الأداة طول الجزء المنحني الواقع على حافة الدائرة. كل ما عليك هو إدخال قيمتين فقط — نصف القطر والزاوية المركزية بالدرجات — لتحصل على طول القوس فوراً. وكميزة إضافية، تحسب الأداة أيضاً مساحة القطاع وطول الوتر لنفس نصف القطر والزاوية، فتمنحك صورة كاملة عن تلك الشريحة من الدائرة.
القيمتان اللتان تُدخلهما
- نصف القطر: المسافة من مركز الدائرة إلى حافتها، بأي وحدة تختارها (سنتيمتر، متر، بوصة، وما إلى ذلك).
- الزاوية المركزية (بالدرجات): الزاوية المقاسة عند مركز الدائرة والتي يمتد عليها القوس — من 0° حتى 360°.
شرح المعادلة
يعتمد حساب طول القوس على العلاقة التالية:
L = r · θ = r · (π · الزاوية° / 180)
بما أن المعادلة الأساسية لطول القوس (L = r · θ) تتطلب الزاوية بوحدة الراديان، تقوم الحاسبة أولاً بتحويل الدرجات إلى راديان عبر ضربها في π/180. ثم تضرب القيمة الناتجة بالراديان في نصف القطر. وتستخدم الزاوية نفسها بعد تحويلها لحساب النتائج الإضافية:
- مساحة القطاع: ½ · r² · θ (بالراديان)
- طول الوتر: 2 · r · sin(θ/2) — وهي المسافة المستقيمة بين طرفي القوس
مثال محلول
لنفترض أن نصف القطر هو 10 والزاوية المركزية هي 60°.
- التحويل: θ = 60 × π/180 ≈ 1.0472 راديان
- طول القوس: L = 10 × 1.0472 ≈ 10.47
- مساحة القطاع: ½ × 10² × 1.0472 ≈ 52.36
- طول الوتر: 2 × 10 × sin(30°) = 20 × 0.5 = 10.00
إذن، القوس بزاوية 60° على دائرة نصف قطرها 10 يمتد بطول يقارب 10.47 وحدة على المنحنى، بينما الوتر المستقيم بين طرفيه يساوي 10 وحدات تماماً.
المصطلحات والمتغيرات الأساسية
- طول القوس (\(L\))
- المسافة المقاسة على طول الحافة المنحنية للدائرة بين نقطتين. بالنسبة للزاوية المركزية بالدرجات، \(L = r\theta\frac{\pi}{180}\)؛ بالراديان تبسط إلى \(L = r\theta\).
- نصف القطر (\(r\))
- المسافة المستقيمة من مركز الدائرة إلى أي نقطة على محيطها. ويعدّل كل قياسات القوس والوتر والمساحة.
- الزاوية المركزية (\(\theta\))
- الزاوية المقاسة عند مركز الدائرة والتي تحدد (تفتح على) القوس. يمكن التعبير عنها بالدرجات أو الراديان.
- الراديان
- وحدة الزاوية الطبيعية، المعرّفة بحيث يحدد قوس مساوٍ في الطول لنصف القطر راديان واحد. الدائرة الكاملة تساوي \(2\pi\) راديان، و \(1\text{ rad} \approx 57.2958^\circ\).
- مساحة القطاع
- مساحة منطقة "شريحة الفطيرة" المحدودة برنفي قطر والقوس، معطاة بـ \(A = \frac{1}{2}r^2\theta\) (راديان) أو \(A = \frac{\theta}{360}\pi r^2\) (درجات).
- الوتر
- القطعة المستقيمة التي تربط بين نقطتي نهاية القوس، وتوجد من \(c = 2r\sin(\theta/2)\). الوتر يكون دائماً أقصر من قوسه.
- المحيط
- المسافة الكلية حول الدائرة بأكملها، \(C = 2\pi r\). القوس هو ببساطة جزء \(\frac{\theta}{360}\) من المحيط.
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين طول القوس وطول الوتر؟ طول القوس يتبع المنحنى، أما الوتر فهو الخط المستقيم الذي يصل بين طرفي القوس. ويكون القوس دائماً مساوياً للوتر أو أطول منه.
هل يمكنني إدخال الزاوية بالراديان؟ لا — تتوقع الأداة إدخال الزاوية بالدرجات وتحوّلها داخلياً. إذا كانت لديك القيمة بالراديان، فاضربها في 180/π أولاً للحصول على الدرجات.
ماذا لو أدخلت 360°؟ عندها يصبح طول القوس مساوياً لمحيط الدائرة الكامل (2πr)، ويتلاشى طول الوتر إلى صفر، لأن الطرفين يلتقيان عند النقطة نفسها.
