この計算ツールでできること
このツールは、円周に沿った曲線部分（円弧）の長さを求めます。入力するのは 半径 と 中心角（度数） の2つだけ。あとはボタンひとつで弧の長さが表示されます。さらに、同じ半径と角度をもとに扇形の面積と弦の長さも自動計算するので、その「切り取られた円の一部」の全体像をまとめて把握できます。
入力する2つの値
- 半径： 円の中心から円周までの距離です。単位は cm、m、インチなど、お好きなものでかまいません。
- 中心角（度数）： 円の中心で測った、弧が張る角度です。0°から360°まで指定できます。
計算式のしくみ
弧の長さは、次の関係式で求められます。
L = r × θ = r ×（π × 角度° ÷ 180）
基本となる弧の長さの公式（L = r × θ）では角度をラジアンで扱うため、ツールはまず度数に π/180 を掛けてラジアンへ変換します。その値に半径を掛けることで弧の長さが求まります。変換後の角度は、次の追加計算にも使われます。
- 扇形の面積： ½ × r² × θ（ラジアン）
- 弦の長さ： 2 × r × sin(θ/2) ── 弧の両端を結ぶ直線距離
計算例
半径が 10、中心角が 60° の場合を考えてみましょう。
- 変換：θ = 60 × π/180 ≈ 1.0472 ラジアン
- 弧の長さ：L = 10 × 1.0472 ≈ 10.47
- 扇形の面積：½ × 10² × 1.0472 ≈ 52.36
- 弦の長さ：2 × 10 × sin(30°) = 20 × 0.5 = 10.00
つまり、半径10の円における60°の弧は、曲線に沿って約10.47の長さになります。一方、両端を結ぶ弦の長さはちょうど10です。
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主要用語と変数
- 弧長 (\(L\))
- 円の曲線の縁に沿って測定された、2つの点間の距離。中心角が度数の場合、\(L = r\theta\frac{\pi}{180}\)；ラジアンの場合は\(L = r\theta\)に簡略化されます。
- 半径 (\(r\))
- 円の中心から円周上の任意の点までの直線距離。これはすべての弧、弦、および面積の測定値をスケーリングします。
- 中心角 (\(\theta\))
- 円の中心で測定された角度で、弧に対して部分角（開く）を示します。度数またはラジアンで表すことができます。
- ラジアン
- 角度の自然な単位で、半径と等しい長さの弧が1ラジアンに対応するように定義されます。完全な円は\(2\pi\)ラジアンであり、\(1\text{ rad} \approx 57.2958^\circ\)です。
- 扇形の面積
- 2つの半径と弧で囲まれた「パイのスライス」領域の面積。ラジアンの場合は\(A = \frac{1}{2}r^2\theta\)、度数の場合は\(A = \frac{\theta}{360}\pi r^2\)で与えられます。
- 弦
- 弧の2つの端点を結ぶ直線セグメント。\(c = 2r\sin(\theta/2)\)から求められます。弦は常にその弧より短いです。
- 円周
- 円全体の周りの総距離。\(C = 2\pi r\)です。弧は単に円周の\(\frac{\theta}{360}\)倍です。
よくある質問
弧の長さと弦の長さの違いは？ 弧の長さは曲線そのものに沿って測った距離で、弦は弧の両端を結ぶ直線の長さです。弧の長さは必ず弦の長さ以上になります。
角度をラジアンで入力できますか？ いいえ。入力は度数で行ってください。ツールが内部でラジアンに変換します。手元にラジアンの値しかない場合は、まず 180/π を掛けて度数に直してから入力してください。
360°を入力するとどうなりますか？ 弧の長さは円周全体（2πr）と等しくなり、弦の長さは0になります。両端が同じ点で重なるためです。
