ما الذي تقوم به حاسبة مساحة الطارة
الطارة (Torus) هي السطح ذو الشكل الحلقي الشبيه بحبة الدونات، والذي ينشأ عند تدوير دائرة حول محور يقع في المستوى نفسه دون أن يلامسها. تحسب هذه الأداة مساحة السطح الكلية للطارة، إضافة إلى عدة قياسات هندسية مرتبطة بها، انطلاقًا من مدخلين اثنين فقط. وهي تعمل مع أي وحدة قياس متناسقة (سنتيمترات أو أمتار أو إنشات)، لذا تأتيك النتيجة بتلك الوحدة مربّعة.
المدخلان اللذان تُدخلهما
- نصف القطر الأكبر (R): المسافة من مركز الطارة (الثقب المركزي) إلى مركز الأنبوب.
- نصف القطر الأصغر (r): نصف قطر الأنبوب نفسه — أي مدى سُمك الحلقة.
كي تكون الطارة صحيحة، ينبغي أن يكون R أكبر من r. فإذا تساوى r مع R انغلق الثقب الداخلي، وإذا تجاوز r قيمة R تقاطع السطح مع نفسه.
شرح المعادلة
تُحسب مساحة السطح الكلية باستخدام المعادلة التالية:
A = 4π²Rr
تنبع هذه المعادلة من نظرية بابوس: فمساحة السطح الناتج عن تدوير منحنى تساوي طول المنحنى (محيط الأنبوب، 2πr) مضروبًا في المسافة التي يقطعها مركز ثقله (2πR). وبضرب هاتين القيمتين نحصل على 4π²Rr.
كما تعرض الحاسبة قياسات إضافية مفيدة مشتقة من R وr:
- المحيط الداخلي: 2π(R−r)
- المحيط الخارجي: 2π(R+r)
- مساحة المقطع العرضي للأنبوب: πr²
- طول الخط المركزي: 2πR
- مساحة السطح الداخلي والخارجي: 2π²(R−r)r و2π²(R+r)r
مثال محلول
لنفترض أن حلقة على شكل دونات لها نصف قطر أكبر R = 10 سم ونصف قطر أصغر r = 3 سم.
- مساحة السطح: A = 4 × π² × 10 × 3 = 1184.35 سم²
- المحيط الداخلي: 2π(10−3) = 43.98 سم
- المحيط الخارجي: 2π(10+3) = 81.68 سم
- مساحة المقطع العرضي: π × 3² = 28.27 سم²
- طول الخط المركزي: 2π × 10 = 62.83 سم
الأسئلة الشائعة
ما الوحدة التي تظهر بها النتيجة؟ بأي وحدة تُدخل بها R وr، تظهر مساحة السطح بتلك الوحدة مربّعة، بينما تظهر المحيطات وطول الخط المركزي بالوحدة نفسها.
هل تعطي الأداة الحجم أيضًا؟ لا — فهذه الأداة تركّز على مساحة السطح والأطوال المرتبطة بها. أما حجم الطارة فيُحسب بمعادلة مختلفة هي V = 2π²Rr².
لماذا يجب أن يكون R أكبر من r؟ عندما يكون R > r يبتعد الأنبوب عن المحور المركزي ويُكوّن حلقة حقيقية ("طارة حلقية"). أما إذا كان R ≤ r فإن السطح يتداخل مع نفسه، ولا تعود معادلة المساحة المعتادة تصف شكل الدونات البسيط.
