टोरस क्षेत्रफल कैलकुलेटर क्या करता है
टोरस वह डोनट जैसी सतह है जो किसी वृत्त को एक ऐसी धुरी के चारों ओर घुमाने से बनती है, जो उसी समतल में हो पर वृत्त को छूती न हो। यह कैलकुलेटर सिर्फ दो मानों से टोरस की कुल सतह का क्षेत्रफल — और इससे जुड़े कई ज्यामितीय माप — निकाल देता है। यह किसी भी एक समान इकाई (सेंटीमीटर, मीटर, इंच) के साथ काम करता है, इसलिए आपका उत्तर उसी इकाई के वर्ग में मिलता है।
आपको दो मान देने होते हैं
- मुख्य त्रिज्या (R): टोरस के केंद्र (बीच के छेद) से ट्यूब के केंद्र तक की दूरी।
- लघु त्रिज्या (r): ट्यूब की अपनी त्रिज्या — यानी रिंग कितनी मोटी है।
सही टोरस के लिए R का मान r से बड़ा होना चाहिए। अगर r बराबर R हो जाए तो बीच का छेद बंद हो जाता है, और अगर r, R से ज़्यादा हो जाए तो सतह खुद को काटने लगती है।
सूत्र की समझ
कुल सतह का क्षेत्रफल इस सूत्र से निकलता है:
A = 4π²Rr
यह पैपस के प्रमेय (Pappus's theorem) से आता है: किसी वक्र को घुमाने से बनी सतह का क्षेत्रफल = वक्र की लंबाई (ट्यूब की परिधि, 2πr) × उसके केंद्रक द्वारा तय की गई दूरी (2πR)। इन्हें गुणा करने पर 4π²Rr मिलता है।
कैलकुलेटर R और r से निकले कुछ और उपयोगी मान भी बताता है:
- भीतरी परिधि: 2π(R−r)
- बाहरी परिधि: 2π(R+r)
- ट्यूब का अनुप्रस्थ-काट क्षेत्रफल: πr²
- केंद्र-रेखा की लंबाई: 2πR
- भीतरी और बाहरी सतह क्षेत्रफल: 2π²(R−r)r और 2π²(R+r)r
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए किसी डोनट जैसी रिंग की मुख्य त्रिज्या R = 10 सेमी और लघु त्रिज्या r = 3 सेमी है।
- सतह क्षेत्रफल: A = 4 × π² × 10 × 3 = 1184.35 सेमी²
- भीतरी परिधि: 2π(10−3) = 43.98 सेमी
- बाहरी परिधि: 2π(10+3) = 81.68 सेमी
- अनुप्रस्थ-काट क्षेत्रफल: π × 3² = 28.27 सेमी²
- केंद्र-रेखा की लंबाई: 2π × 10 = 62.83 सेमी
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
नतीजा किस इकाई में आता है? आप R और r जिस भी इकाई में डालेंगे, सतह क्षेत्रफल उसी इकाई के वर्ग में मिलेगा, और परिधि व केंद्र-रेखा की लंबाई उसी इकाई में।
क्या यह आयतन (वॉल्यूम) भी बताता है? नहीं — यह टूल सतह क्षेत्रफल और उससे जुड़ी लंबाइयों पर केंद्रित है। टोरस का आयतन एक अलग सूत्र से निकलता है, V = 2π²Rr²।
R का मान r से बड़ा क्यों होना चाहिए? जब R > r होता है तो ट्यूब बीच की धुरी से दूर रहती है और एक असली रिंग ("रिंग टोरस") बनती है। अगर R ≤ r हो तो सतह खुद को ओवरलैप करने लगती है और सामान्य क्षेत्रफल सूत्र उस साधारण डोनट आकृति का सही वर्णन नहीं करता।
