토러스 표면적 계산기란?
토러스(torus)는 원을 같은 평면 위에 있지만 원과 맞닿지 않는 축을 중심으로 회전시켰을 때 생기는 도넛 모양의 곡면입니다. 이 계산기는 단 두 개의 값만 입력하면 토러스의 전체 표면적은 물론 관련된 여러 기하학적 수치까지 한 번에 계산해 줍니다. 센티미터, 미터, 인치 등 어떤 단위를 쓰든 일관되게만 입력하면 결과는 그 단위의 제곱으로 표시됩니다.
입력해야 할 두 가지 값
- 큰 반지름 (R): 토러스의 중심(가운데 빈 구멍)에서 관(튜브)의 중심까지의 거리입니다.
- 작은 반지름 (r): 관 자체의 반지름, 즉 고리가 얼마나 굵은지를 나타냅니다.
제대로 된 토러스가 되려면 R이 r보다 커야 합니다. r이 R과 같아지면 가운데 구멍이 닫혀 버리고, r이 R보다 커지면 곡면이 스스로 겹쳐 버립니다.
공식 자세히 보기
전체 표면적은 다음 공식으로 구합니다.
A = 4π²Rr
이 공식은 파푸스의 정리(Pappus's theorem)에서 나옵니다. 곡선을 회전시켜 만든 도형의 표면적은 곡선의 길이(관의 둘레, 2πr)에 그 무게중심이 이동한 거리(2πR)를 곱한 값과 같습니다. 이 둘을 곱하면 4π²Rr이 됩니다.
이 계산기는 R과 r로부터 다음과 같은 유용한 값들도 함께 알려 줍니다.
- 안쪽 둘레: 2π(R−r)
- 바깥쪽 둘레: 2π(R+r)
- 관의 단면적: πr²
- 중심선 길이: 2πR
- 안쪽 및 바깥쪽 표면적: 2π²(R−r)r 와 2π²(R+r)r
계산 예시
큰 반지름 R = 10 cm, 작은 반지름 r = 3 cm인 도넛 모양 고리가 있다고 가정해 보겠습니다.
- 표면적: A = 4 × π² × 10 × 3 = 1184.35 cm²
- 안쪽 둘레: 2π(10−3) = 43.98 cm
- 바깥쪽 둘레: 2π(10+3) = 81.68 cm
- 단면적: π × 3² = 28.27 cm²
- 중심선 길이: 2π × 10 = 62.83 cm
자주 묻는 질문
결과는 어떤 단위로 나오나요? R과 r을 입력한 단위가 무엇이든, 표면적은 그 단위의 제곱으로, 둘레와 중심선 길이는 그 단위 그대로 표시됩니다.
부피도 계산되나요? 아니요. 이 도구는 표면적과 관련 길이 계산에 집중합니다. 토러스의 부피는 V = 2π²Rr²이라는 별도의 공식을 사용합니다.
왜 R이 r보다 커야 하나요? R > r일 때 관이 중심축을 벗어나 진정한 고리 모양(이른바 "링 토러스")을 이룹니다. R ≤ r이면 곡면이 스스로 겹쳐, 일반적인 표면적 공식이 더 이상 단순한 도넛 모양을 나타내지 못합니다.
