Что вычисляет калькулятор площади тора
Тор — это поверхность в форме бублика (или баранки), которая получается при вращении окружности вокруг оси, лежащей в той же плоскости, но не пересекающей эту окружность. Калькулятор находит полную площадь поверхности тора, а заодно несколько связанных геометрических величин — всего по двум исходным значениям. Он работает с любыми согласованными единицами измерения (сантиметры, метры, дюймы), поэтому ответ возвращается в этих же единицах, возведённых в квадрат.
Два значения, которые вы задаёте
- Большой радиус (R): расстояние от центра тора (центрального отверстия) до центра трубки.
- Малый радиус (r): радиус самой трубки, то есть толщина кольца.
Чтобы тор был корректным, R должен быть больше r. Если r равно R, центральное отверстие закрывается, а если r превышает R, поверхность начинает пересекать саму себя.
Разбираем формулу
Полная площадь поверхности рассчитывается по формуле:
A = 4π²Rr
Она следует из теоремы Паппа: площадь поверхности, образованной вращением кривой, равна длине этой кривой (длина окружности трубки, 2πr), умноженной на путь, который проходит её центр тяжести (2πR). Перемножив эти величины, получаем 4π²Rr.
Калькулятор также показывает полезные дополнительные параметры, выведенные из R и r:
- Внутренняя длина окружности: 2π(R−r)
- Внешняя длина окружности: 2π(R+r)
- Площадь поперечного сечения трубки: πr²
- Длина центральной линии: 2πR
- Внутренняя и внешняя площадь поверхности: 2π²(R−r)r и 2π²(R+r)r
Разбор примера
Допустим, кольцо в форме бублика имеет большой радиус R = 10 см и малый радиус r = 3 см.
- Площадь поверхности: A = 4 × π² × 10 × 3 = 1184,35 см²
- Внутренняя длина окружности: 2π(10−3) = 43,98 см
- Внешняя длина окружности: 2π(10+3) = 81,68 см
- Площадь поперечного сечения: π × 3² = 28,27 см²
- Длина центральной линии: 2π × 10 = 62,83 см
Частые вопросы
В каких единицах получается результат? В тех же, что вы ввели для R и r: площадь поверхности — в этих единицах в квадрате, а длины окружностей и центральной линии — в самих единицах.
Считает ли калькулятор объём? Нет — этот инструмент работает с площадью поверхности и связанными длинами. Объём тора находится по другой формуле: V = 2π²Rr².
Почему R должно быть больше r? Когда R > r, трубка не задевает центральную ось и образует настоящее кольцо («кольцевой тор»). Если же R ≤ r, поверхность пересекает сама себя, и стандартная формула площади перестаёт описывать простую форму бублика.
