Что делает этот калькулятор
Усечённый конус — это фигура, которая получается, если срезать верхушку конуса плоскостью, параллельной основанию. Вспомните обычное ведро, абажур настольной лампы или бумажный стаканчик для кофе. Этот калькулятор вычисляет полную площадь поверхности такой фигуры: и боковую (коническую) часть, и оба круглых основания. Вы вводите три размера, а калькулятор сразу выдаёт суммарную площадь, попутно рассчитывая образующую (наклонную сторону).
Исходные данные
- Верхний радиус (\(r\)): радиус меньшего круглого основания сверху.
- Нижний радиус (\(R\)): радиус большего круглого основания снизу.
- Высота (\(h\)): прямое вертикальное расстояние между основаниями (а не длина наклонной грани).
Все три величины нужно вводить в одних и тех же единицах (см, м, дюймы и т. д.) — результат получится в этих же единицах в квадрате.
Формула
Калькулятор использует выражение:
$$A = \pi(R + r)s + \pi R^{2} + \pi r^{2}$$Здесь \(s\) — образующая, или наклонная высота. Её вводить не нужно: она вычисляется из высоты и разности радиусов по теореме Пифагора:
$$s = \sqrt{h^{2} + (R - r)^{2}}$$Первое слагаемое, \(\pi(R + r)s\), — это боковая (коническая) поверхность. Два оставшихся слагаемых, \(\pi R^{2}\) и \(\pi r^{2}\), — площади нижнего и верхнего кругов. Сложив все три части, получаем полную площадь поверхности.
Разбор примера
Допустим, у ведра верхний радиус равен 3, нижний — 5, а высота — 8.
- Образующая: \(s = \sqrt{8^{2} + (5 - 3)^{2}} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} \approx 8{,}246\)
- Боковая поверхность: \(\pi(5 + 3)(8{,}246) \approx 207{,}3\)
- Площадь нижнего основания: \(\pi(5^{2}) \approx 78{,}54\)
- Площадь верхнего основания: \(\pi(3^{2}) \approx 28{,}27\)
- Полная площадь ≈ 314,1 квадратных единиц
Частые вопросы
Нужно ли вводить образующую? Нет. Калькулятор сам рассчитает наклонную высоту по введённым высоте и двум радиусам, так что от вас требуются только три размера — высота и два радиуса.
А если оба радиуса равны? Если верхний и нижний радиусы совпадают, фигура превращается в цилиндр. Тогда образующая равна высоте, и формула всё равно даёт верную полную площадь поверхности.
Учитываются ли открытый верх или дно? В расчёте учтены оба круглых основания. Если ваш объект открытый (например, ведро без крышки), вычтите площадь открытой стороны — скажем, отнимите \(\pi r^{2}\), чтобы исключить открытый верх.
