À quoi sert ce calculateur
Un tronc de cône, c'est la forme obtenue lorsqu'on coupe le sommet d'un cône par un plan parallèle à sa base — pensez à un seau, à un abat-jour ou à un gobelet de café en carton. Ce calculateur détermine la surface totale de cette forme, en tenant compte à la fois de la face latérale incurvée et des deux disques aux extrémités. Vous renseignez trois mesures et il vous donne instantanément l'aire complète, ainsi que l'apothème (la hauteur oblique) qu'il calcule au passage.
Les données à saisir
- Rayon supérieur (\(r\)) : le rayon du petit disque situé en haut.
- Rayon inférieur (\(R\)) : le rayon du grand disque situé en bas.
- Hauteur (\(h\)) : la distance verticale entre les deux faces (et non la longueur du côté oblique).
Les trois valeurs doivent être exprimées dans la même unité (cm, m, pouces, etc.) ; le résultat sera donné dans cette unité élevée au carré.
La formule
Le calculateur utilise :
$$A = \pi(R + r)s + \pi R^{2} + \pi r^{2}$$Ici, \(s\) désigne l'apothème (la hauteur oblique), que l'on ne saisit pas directement : il se déduit de la hauteur et de la différence des rayons grâce au théorème de Pythagore :
$$s = \sqrt{h^{2} + (R - r)^{2}}$$Le premier terme, \(\pi(R + r)s\), correspond à la surface latérale incurvée. Les deux termes restants, \(\pi R^{2}\) et \(\pi r^{2}\), représentent les aires des disques inférieur et supérieur. La somme des trois donne la surface totale.
Exemple concret
Imaginons un seau dont le rayon supérieur est de 3, le rayon inférieur de 5 et la hauteur de 8.
- Apothème : \(s = \sqrt{8^{2} + (5 - 3)^{2}} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} \approx 8{,}246\)
- Surface latérale : \(\pi(5 + 3)(8{,}246) \approx 207{,}3\)
- Aire du disque inférieur : \(\pi(5^{2}) \approx 78{,}54\)
- Aire du disque supérieur : \(\pi(3^{2}) \approx 28{,}27\)
- Surface totale ≈ 314,1 unités carrées
Questions fréquentes
Dois-je saisir l'apothème (la hauteur oblique) ? Non. Le calculateur le détermine pour vous à partir de la hauteur et des deux rayons : vous n'avez donc qu'à fournir les trois mesures verticale et radiales.
Et si les deux rayons sont identiques ? Lorsque le rayon supérieur et le rayon inférieur sont égaux, la forme devient un cylindre. L'apothème est alors égal à la hauteur, et la formule continue de donner la surface totale exacte.
Le résultat inclut-il le dessus ou le dessous ouvert ? Ce calcul prend en compte les deux disques. Si votre objet est ouvert (comme un seau sans couvercle), retranchez l'aire de la face ouverte — par exemple, soustrayez \(\pi r^{2}\) pour exclure un dessus ouvert.
