ماذا تفعل هذه الحاسبة
المخروط الناقص هو الشكل الذي تحصل عليه عند قطع رأس المخروط بقطعٍ موازٍ للقاعدة — تخيّل دلوًا أو غطاء مصباح أو كوب قهوة ورقيًا. تحسب هذه الأداة المساحة الكلية للسطح لهذا الشكل، شاملةً الجانب المنحني والوجهين الدائريين معًا. تُدخل ثلاثة قياسات فقط فتُعيد لك المساحة الكاملة في الحال، إضافةً إلى الارتفاع المائل الذي تحسبه ضمن العملية.
المُدخلات
- نصف القطر العلوي (\(r\)): نصف قطر الوجه الدائري الأصغر في الأعلى.
- نصف القطر السفلي (\(R\)): نصف قطر الوجه الدائري الأكبر في الأسفل.
- الارتفاع (\(h\)): المسافة العمودية المستقيمة بين الوجهين (وليست الحافة المائلة).
يجب إدخال القياسات الثلاثة جميعها بالوحدة نفسها (سم، م، بوصة، إلخ)، وتأتي النتيجة بمربّع تلك الوحدة.
المعادلة
تعتمد الحاسبة على الصيغة التالية:
$$A = \pi(R + r)s + \pi R^{2} + \pi r^{2}$$حيث \(s\) هو الارتفاع المائل، وهو لا يُدخَل مباشرةً، بل يُشتق من الارتفاع وفرق نصفي القطر باستخدام نظرية فيثاغورس:
$$s = \sqrt{h^{2} + (R - r)^{2}}$$الحد الأول، \(\pi(R + r)s\)، يمثّل المساحة الجانبية المنحنية. أما الحدّان الآخران، \(\pi R^{2}\) و \(\pi r^{2}\)، فهما مساحتا الدائرتين السفلية والعلوية. وبجمع الحدود الثلاثة تحصل على المساحة الكلية للسطح.
مثال محلول
لنفترض أن دلوًا له نصف قطر علوي يساوي 3، ونصف قطر سفلي يساوي 5، وارتفاع يساوي 8.
- الارتفاع المائل: \(s = \sqrt{8^{2} + (5 - 3)^{2}} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} \approx 8.246\)
- المساحة الجانبية: \(\pi(5 + 3)(8.246) \approx 207.3\)
- مساحة القاعدة السفلية: \(\pi(5^{2}) \approx 78.54\)
- مساحة الوجه العلوي: \(\pi(3^{2}) \approx 28.27\)
- المساحة الكلية ≈ 314.1 وحدة مربعة
الأسئلة الشائعة
هل عليّ إدخال الارتفاع المائل؟ لا. تحسب الأداة الارتفاع المائل نيابةً عنك انطلاقًا من الارتفاع ونصفي القطر، فلا تُدخل سوى القياسات العمودية والقطرية الثلاثة.
ماذا لو تساوى نصفا القطر؟ إذا تساوى نصف القطر العلوي مع السفلي، تحوّل الشكل إلى أسطوانة. عندها يصبح الارتفاع المائل مساويًا للارتفاع، وتبقى المعادلة صحيحة وتعطي المساحة الكلية بدقة.
هل يشمل الحساب الوجه العلوي أو السفلي المفتوح؟ يشمل هذا الحساب الغطاءين الدائريين كليهما. فإذا كان جسمك مفتوحًا (كدلوٍ مفتوح)، فاطرح مساحة الوجه المفتوح — على سبيل المثال، اطرح \(\pi r^{2}\) لاستبعاد الوجه العلوي المفتوح.
