यह कैलकुलेटर क्या करता है
शंकु का फ्रस्टम वह आकृति है जो तब बनती है जब किसी शंकु के ऊपरी हिस्से को उसके आधार के समांतर काटकर अलग कर दिया जाए — जैसे एक बाल्टी, लैंपशेड या कागज़ का कॉफ़ी कप। यह कैलकुलेटर इसी आकृति का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालता है, जिसमें घुमावदार बगल वाली सतह और दोनों गोल सिरे शामिल होते हैं। आप तीन माप देते हैं और यह तुरंत पूरा क्षेत्रफल बता देता है, साथ ही बीच में जो तिर␏छी ऊँचाई (slant height) निकलती है, वह भी दिखाता है।
इनपुट क्या-क्या हैं
- ऊपरी त्रिज्या (\(r\)): ऊपर वाले छोटे गोल फलक की त्रिज्या।
- निचली त्रिज्या (\(R\)): नीचे वाले बड़े गोल फलक की त्रिज्या।
- ऊँचाई (\(h\)): दोनों फलकों के बीच की सीधी खड़ी दूरी (तिरछा किनारा नहीं)।
तीनों माप एक ही इकाई में दर्ज करें (सेमी, मीटर, इंच आदि), और परिणाम उसी इकाई के वर्ग में मिलेगा।
सूत्र
कैलकुलेटर यह सूत्र इस्तेमाल करता है:
$$A = \pi(R + r)s + \pi R^{2} + \pi r^{2}$$यहाँ \(s\) तिरछी ऊँचाई है, जिसे सीधे दर्ज नहीं करना होता — यह ऊँचाई और दोनों त्रिज्याओं के अंतर से पाइथागोरस प्रमेय के ज़रिए निकाली जाती है:
$$s = \sqrt{h^{2} + (R - r)^{2}}$$पहला पद, \(\pi(R + r)s\), घुमावदार बगल वाली सतह का क्षेत्रफल है। बाकी दो पद, \(\pi R^{2}\) और \(\pi r^{2}\), नीचे और ऊपर के गोल फलकों के क्षेत्रफल हैं। इन तीनों को जोड़ने पर कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल मिलता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए किसी बाल्टी की ऊपरी त्रिज्या 3, निचली त्रिज्या 5 और ऊँचाई 8 है।
- तिरछी ऊँचाई: $$s = \sqrt{8^{2} + (5 - 3)^{2}} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} \approx 8.246$$
- बगल वाला क्षेत्रफल: \(\pi(5 + 3)(8.246) \approx 207.3\)
- निचला क्षेत्रफल: \(\pi(5^{2}) \approx 78.54\)
- ऊपरी क्षेत्रफल: \(\pi(3^{2}) \approx 28.27\)
- कुल क्षेत्रफल ≈ 314.1 वर्ग इकाई
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या मुझे तिरछी ऊँचाई दर्ज करनी होगी? नहीं। कैलकुलेटर ऊँचाई और दोनों त्रिज्याओं से तिरछी ऊँचाई खुद निकाल लेता है, इसलिए आपको सिर्फ़ तीन माप — दो त्रिज्या और ऊँचाई — देने होते हैं।
अगर दोनों त्रिज्या बराबर हों तो? अगर ऊपरी और निचली त्रिज्या समान हों, तो आकृति एक बेलन (सिलिंडर) बन जाती है। ऐसी स्थिति में तिरछी ऊँचाई, ऊँचाई के बराबर हो जाती है और सूत्र फिर भी सही कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल देता है।
क्या इसमें खुला ऊपर या नीचे वाला हिस्सा भी शामिल है? इस गणना में दोनों गोल सिरे शामिल हैं। अगर आपकी वस्तु खुली है (जैसे खुली बाल्टी), तो खुले फलक का क्षेत्रफल घटा दें — उदाहरण के लिए, खुले ऊपरी हिस्से को हटाने के लिए \(\pi r^{2}\) घटा दें।
