이 계산기의 기능
원뿔대(절두원뿔)는 원뿔의 윗부분을 밑면과 평행하게 잘라냈을 때 생기는 도형입니다. 양동이, 전등갓, 종이컵을 떠올리면 쉽게 이해할 수 있습니다. 이 계산기는 옆면(곡면)과 위·아래 두 원형 면을 모두 포함한 전체 겉넓이를 구해 줍니다. 세 가지 측정값만 입력하면 전체 표면적은 물론 계산 과정에서 구한 모선(빗변) 길이까지 즉시 보여 줍니다.
입력 항목
- 윗면 반지름 (\(r\)): 위쪽에 있는 작은 원형 면의 반지름.
- 아랫면 반지름 (\(R\)): 아래쪽에 있는 큰 원형 면의 반지름.
- 높이 (\(h\)): 두 면 사이의 수직 거리입니다. 비스듬한 옆면 길이가 아니라 곧게 측정한 수직 높이를 입력하세요.
세 값은 모두 같은 단위(cm, m, inch 등)로 입력해야 하며, 결과는 해당 단위의 제곱으로 나옵니다.
계산 공식
이 계산기는 다음 공식을 사용합니다.
$$A = \pi(R + r)s + \pi R^{2} + \pi r^{2}$$여기서 \(s\)는 모선(빗변) 길이로, 직접 입력하지 않습니다. 높이와 두 반지름의 차이를 피타고라스 정리에 대입해 자동으로 구합니다.
$$s = \sqrt{h^{2} + (R - r)^{2}}$$첫 번째 항 \(\pi(R + r)s\)는 곡면인 옆면의 넓이입니다. 나머지 두 항 \(\pi R^{2}\)과 \(\pi r^{2}\)은 각각 아랫면과 윗면 원의 넓이입니다. 이 세 값을 모두 더하면 전체 겉넓이가 됩니다.
계산 예시
윗면 반지름이 3, 아랫면 반지름이 5, 높이가 8인 양동이가 있다고 해 봅시다.
- 모선 길이: $$s = \sqrt{8^{2} + (5 - 3)^{2}} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} \approx 8.246$$
- 옆면 넓이: $$\pi(5 + 3)(8.246) \approx 207.3$$
- 아랫면 넓이: $$\pi(5^{2}) \approx 78.54$$
- 윗면 넓이: $$\pi(3^{2}) \approx 28.27$$
- 전체 겉넓이 ≈ 314.1 (단위 제곱)
자주 묻는 질문
모선 길이를 직접 입력해야 하나요? 아닙니다. 계산기가 높이와 두 반지름으로 모선 길이를 자동으로 구하므로, 수직 높이와 두 반지름 세 값만 입력하면 됩니다.
두 반지름이 같으면 어떻게 되나요? 윗면과 아랫면 반지름이 같으면 도형은 원기둥이 됩니다. 이때 모선 길이는 높이와 같아지며, 공식은 그대로 정확한 전체 겉넓이를 계산해 줍니다.
뚜껑이 열린 위·아래 면도 포함되나요? 이 계산에는 위·아래 두 원형 면이 모두 포함됩니다. 만약 물체가 열려 있다면(예: 뚜껑 없는 양동이) 열린 면의 넓이를 빼야 합니다. 예를 들어 윗면이 열려 있다면 \(\pi r^{2}\)을 빼서 제외하면 됩니다.
