टोरस सतह क्षेत्रफल कैलकुलेटर क्या है?
टोरस एक डोनट जैसी आकृति वाली सतह है, जो किसी r त्रिज्या वाले वृत्त को उसके केंद्र से R दूरी पर स्थित एक अक्ष के चारों ओर घुमाने से बनती है। यह कैलकुलेटर केवल दो मापों — मेजर त्रिज्या R और माइनर त्रिज्या r — से इस आकृति का कुल सतह क्षेत्रफल निकाल देता है। यह किसी भी एक समान इकाई में काम करता है — मिलीमीटर, इंच या मीटर — और परिणाम उसी इकाई के वर्ग में आता है।
इसका उपयोग कैसे करें
मेजर त्रिज्या R (टोरस के बिल्कुल केंद्र से ट्यूब के केंद्र तक की दूरी) और माइनर त्रिज्या r (ट्यूब के क्रॉस-सेक्शन की त्रिज्या) दर्ज करें। कैलकुलेट पर क्लिक करते ही सतह क्षेत्रफल तुरंत दिख जाएगा। ध्यान रखें कि दोनों त्रिज्याएँ एक ही इकाई में हों, ताकि वर्ग में मिलने वाला परिणाम सही अर्थ रखे।
सूत्र की व्याख्या
टोरस का सतह क्षेत्रफल इस सूत्र से निकलता है:
$$A = 4\pi^2 R r$$
यह पैपस के प्रमेय (Pappus's theorem) से आता है: किसी घूर्णन सतह का क्षेत्रफल उत्पादक वक्र की लंबाई (ट्यूब की परिधि, \(2\pi r\)) और उसके केंद्रक द्वारा तय की गई दूरी (\(2\pi R\)) के गुणनफल के बराबर होता है। इन्हें गुणा करने पर \(2\pi r \times 2\pi R = 4\pi^2 R r\) प्राप्त होता है।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए किसी टोरस की मेजर त्रिज्या \(R = 5\) और माइनर त्रिज्या \(r = 2\) है। तब $$A = 4 \times \pi^2 \times 5 \times 2 = 40\pi^2 \approx 394.78$$ वर्ग इकाई। यदि ट्यूब की त्रिज्या दोगुनी करके \(r = 4\) कर दी जाए, तो क्षेत्रफल भी दोगुना होकर \(80\pi^2 \approx 789.57\) हो जाएगा।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
R और r में क्या अंतर है? R (मेजर) टोरस के केंद्र से ट्यूब के केंद्र तक की दूरी है; r (माइनर) ट्यूब की मोटाई यानी उसकी अपनी त्रिज्या है।
क्या R का r से बड़ा होना ज़रूरी है? सामान्य रिंग टोरस के लिए \(R > r\) होता है। यदि \(R = r\) हो तो छेद बंद हो जाता है (हॉर्न टोरस); यदि \(R < r\) हो तो आकृति स्वयं को काटती है (स्पिंडल टोरस), लेकिन सूत्र फिर भी एक मान निकाल देता है।
उत्तर किस इकाई में आता है? जो भी इकाई आप दर्ज करते हैं, उसी के वर्ग में। यदि R और r सेमी में हैं, तो क्षेत्रफल सेमी² में होगा।
