원환체 겉넓이 계산기란?
원환체(토러스)는 반지름 r인 원을, 그 원의 중심에서 거리 R만큼 떨어진 축을 기준으로 회전시켜 만들어지는 도넛 모양의 곡면입니다. 이 계산기는 단 두 개의 값, 즉 큰 반지름 R과 작은 반지름 r만 있으면 이 도형의 전체 겉넓이를 구해 줍니다. 밀리미터, 인치, 미터 등 어떤 단위를 쓰든 두 값의 단위만 일치시키면 되며, 결과는 그 단위의 제곱으로 나옵니다.
사용 방법
큰 반지름 \(R\)(원환체의 정중앙에서 관의 중심까지의 거리)과 작은 반지름 \(r\)(관 단면의 반지름)을 입력하세요. 계산 버튼을 누르면 겉넓이가 바로 나타납니다. 결과의 제곱 단위가 의미를 가지려면 두 반지름을 반드시 같은 단위로 입력해야 합니다.
공식 풀이
원환체의 겉넓이는 다음과 같이 구합니다.
$$A = 4\pi^2 R r$$이는 파푸스(Pappus)의 정리에서 비롯됩니다. 회전체의 겉넓이는 회전시키는 곡선의 길이(관의 둘레, 즉 \(2\pi r\))에 그 곡선의 무게중심이 이동한 거리(\(2\pi R\))를 곱한 값과 같습니다. 이 둘을 곱하면 \(2\pi r \times 2\pi R = 4\pi^2 R r\)가 됩니다.
예제로 풀어보기
큰 반지름 \(R = 5\), 작은 반지름 \(r = 2\)인 원환체가 있다고 합시다. 그러면 $$A = 4 \times \pi^2 \times 5 \times 2 = 40\pi^2 \approx 394.78$$(제곱 단위)가 됩니다. 관의 반지름을 두 배로 늘려 \(r = 4\)로 하면 겉넓이도 두 배인 \(80\pi^2 \approx 789.57\)이 됩니다.
자주 묻는 질문
R과 r의 차이는 무엇인가요? \(R\)(큰 반지름)은 원환체 중심에서 관의 중심까지의 거리이고, \(r\)(작은 반지름)은 관 자체의 두께(반지름)입니다.
R이 r보다 꼭 커야 하나요? 일반적인 고리형 원환체에서는 \(R > r\)입니다. \(R = r\)이면 가운데 구멍이 닫히고(뿔형 원환체), \(R < r\)이면 스스로 교차합니다(방추형 원환체). 다만 공식 자체는 어느 경우든 값을 계산해 줍니다.
답의 단위는 무엇인가요? 입력한 단위의 제곱입니다. \(R\)과 \(r\)을 cm로 입력했다면 겉넓이는 cm²로 나옵니다.
