À quoi sert le calculateur d'aire d'un tore ?
Un tore est cette surface en forme de donut qu'on obtient en faisant tourner un cercle de rayon r autour d'un axe situé à une distance R du centre du cercle. Ce calculateur vous donne l'aire totale de cette surface à partir de deux mesures seulement : le grand rayon R et le petit rayon r. Il fonctionne avec n'importe quelle unité, à condition d'être cohérent — millimètres, pouces, mètres — et le résultat s'exprime tout simplement dans cette unité au carré.
Comment l'utiliser
Saisissez le grand rayon R (la distance entre le centre même du tore et le centre du tube), puis le petit rayon r (le rayon de la section du tube). Cliquez sur « Calculer » et l'aire apparaît aussitôt. Veillez à exprimer les deux rayons dans la même unité, afin que le résultat au carré ait du sens.
La formule expliquée
L'aire d'un tore est donnée par :
$$A = 4\pi^2 R r$$
Elle découle du théorème de Pappus-Guldin : l'aire d'une surface de révolution est égale à la longueur de la courbe génératrice (la circonférence du tube, soit \(2\pi r\)) multipliée par la distance parcourue par son centre de gravité (\(2\pi R\)). En multipliant ces deux quantités, on obtient \(2\pi r \times 2\pi R = 4\pi^2 R r\).
Exemple concret
Imaginons un tore de grand rayon \(R = 5\) et de petit rayon \(r = 2\). On a alors $$A = 4 \times \pi^2 \times 5 \times 2 = 40\pi^2 \approx 394{,}78 \text{ unités carrées}.$$ Si l'on double le rayon du tube pour atteindre \(r = 4\), l'aire double également pour atteindre \(80\pi^2 \approx 789{,}57\).
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre R et r ? R (le grand rayon) va du centre du tore au centre du tube ; r (le petit rayon) correspond à l'épaisseur, c'est-à-dire au rayon du tube lui-même.
R doit-il être plus grand que r ? Pour un tore annulaire classique, oui : \(R > r\). Si \(R = r\), le trou central se referme (on parle de tore à corne) ; si \(R < r\), la surface s'auto-intersecte (tore en fuseau), mais la formule renvoie tout de même une valeur.
Dans quelle unité s'exprime le résultat ? Dans l'unité que vous saisissez, mais au carré. Si R et r sont en cm, l'aire sera en cm².
