टोरस क्या होता है?
टोरस एक डोनट के आकार का ठोस है, जो किसी वृत्त को उसी तल में स्थित ऐसी धुरी के चारों ओर घुमाने से बनता है जो वृत्त को छूती नहीं है। यह एक शुद्ध ज्यामिति का उपकरण है, जो दुनिया भर में एक समान काम करता है। यह कैलकुलेटर टोरस को दो आसानी से मापी जा सकने वाली त्रिज्याओं के ज़रिए बताता है: अंदरूनी त्रिज्या (बीच के छेद की त्रिज्या) और बाहरी त्रिज्या (केंद्रीय धुरी से रिंग के बाहरी किनारे तक की दूरी)।
इसका इस्तेमाल कैसे करें
अंदरूनी त्रिज्या और बाहरी त्रिज्या दोनों को एक ही लंबाई की इकाई में दर्ज करें (सेंटीमीटर, इंच, मीटर — कुछ भी, बस दोनों एक जैसी हों)। बाहरी त्रिज्या, अंदरूनी त्रिज्या से बड़ी होनी चाहिए। कैलकुलेटर आयतन को घन इकाइयों में और पृष्ठीय क्षेत्रफल को वर्ग इकाइयों में बताता है, साथ ही टोरस के दो क्लासिक मानक पैरामीटर भी देता है जिन्हें वह आंतरिक रूप से निकालता है।
सूत्र की व्याख्या
आपके दिए दो मानों से कैलकुलेटर टोरस के मानक पैरामीटर निकालता है। नली की त्रिज्या (रिंग की मोटाई) \(r = (\text{बाहरी} - \text{अंदरूनी}) / 2\) होती है, और केंद्र त्रिज्या (धुरी से नली के बीच तक की दूरी) \(R = (\text{बाहरी} + \text{अंदरूनी}) / 2\) होती है। फिर आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल होता है:
$$V = 2\pi^{2} R r^{2} \qquad S = 4\pi^{2} R r$$पृष्ठीय क्षेत्रफल को आसानी से \(S = \pi^{2}(b^{2} - a^{2})\) के रूप में भी लिखा जा सकता है, जहाँ \(a\) अंदरूनी त्रिज्या और \(b\) बाहरी त्रिज्या है।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए अंदरूनी त्रिज्या 5 cm और बाहरी त्रिज्या 10 cm है। नली की त्रिज्या \(r = (10 - 5)/2 = 2.5\) cm और केंद्र त्रिज्या \(R = (10 + 5)/2 = 7.5\) cm होगी। आयतन
$$V = 2\pi^{2} \times 7.5 \times 2.5^{2} \approx 925.28 \text{ cm}^{3}$$पृष्ठीय क्षेत्रफल
$$S = 4\pi^{2} \times 7.5 \times 2.5 \approx 740.22 \text{ cm}^{2}$$जो \(\pi^{2} \times (100 - 25)\) से मेल खाता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
अगर अंदरूनी त्रिज्या 0 हो तो क्या होगा? इससे एक हॉर्न टोरस बनता है, जिसमें छेद सिमटकर एक बिंदु बन जाता है (\(R = r\))। सूत्र फिर भी सही ढंग से काम करते हैं।
बाहरी त्रिज्या, अंदरूनी त्रिज्या से बड़ी क्यों होनी चाहिए? वरना नली की त्रिज्या शून्य या ऋणात्मक हो जाएगी, जो एक मान्य ठोस रिंग नहीं है; ऐसी स्थिति में कैलकुलेटर शून्य लौटा देता है।
यह किन इकाइयों का इस्तेमाल करता है? जो भी एक इकाई आप दोनों मानों के लिए चुनते हैं — आयतन उसी इकाई के घन में और पृष्ठीय क्षेत्रफल उसी इकाई के वर्ग में आता है।
