ما هي الطارة؟
الطارة (Torus) هي مجسم على شكل قطعة الدونات، يتكوّن من تدوير دائرة حول محور يقع في المستوى نفسه دون أن يلامسها. وهذه أداة هندسية بحتة تعطي النتائج نفسها في أي مكان في العالم. تصف هذه الحاسبة الطارة باستخدام نصفي قطر يسهل قياسهما: نصف القطر الداخلي (نصف قطر الفتحة الوسطى) ونصف القطر الخارجي (المسافة من المحور المركزي إلى الحافة الخارجية للحلقة).
طريقة الاستخدام
أدخل نصف القطر الداخلي ونصف القطر الخارجي مستخدمًا وحدة الطول نفسها (سنتيمتر، بوصة، متر — أي وحدة شئت، بشرط أن تتطابق الوحدتان). يجب أن يكون نصف القطر الخارجي أكبر من نصف القطر الداخلي. تعطيك الحاسبة الحجم بوحدات مكعّبة ومساحة السطح بوحدات مربّعة، إضافة إلى مَعلَمي الطارة الكلاسيكيين اللذين تشتقّهما داخليًا.
شرح المعادلة
من المدخلين اللذين تُدخلهما تشتقّ الحاسبة مَعلَمي الطارة القياسيين. نصف قطر الأنبوب (سُمك الحلقة) هو \(r = (\text{الخارجي} - \text{الداخلي}) / 2\)، ونصف القطر المركزي (المسافة من المحور إلى منتصف الأنبوب) هو \(R = (\text{الخارجي} + \text{الداخلي}) / 2\). عندئذ يُحسب الحجم بالعلاقة $$V = 2\pi^{2} R r^{2}$$ وتُحسب مساحة السطح بالعلاقة $$S = 4\pi^{2} R r$$ كما تُختصر مساحة السطح بأناقة إلى \(S = \pi^{2}(b^{2} - a^{2})\)، حيث \(a\) نصف القطر الداخلي و\(b\) نصف القطر الخارجي.
مثال محلول
لنفترض أن نصف القطر الداخلي 5 سم ونصف القطر الخارجي 10 سم. عندها يكون نصف قطر الأنبوب $$r = (10 - 5)/2 = 2.5 \text{ سم}$$ ونصف القطر المركزي $$R = (10 + 5)/2 = 7.5 \text{ سم}$$ ويصبح الحجم $$V = 2\pi^{2} \times 7.5 \times 2.5^{2} \approx 925.28 \text{ سم}^{3}$$ أما مساحة السطح فهي $$S = 4\pi^{2} \times 7.5 \times 2.5 \approx 740.22 \text{ سم}^{2}$$ وهي تطابق \(\pi^{2} \times (100 - 25)\).
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان نصف القطر الداخلي صفرًا؟ ينتج عن ذلك طارة قرنية (horn torus) تنغلق فيها الفتحة لتصبح نقطة (\(R = r\)). وتبقى المعادلات صحيحة في حسابها.
لماذا يجب أن يكون نصف القطر الخارجي أكبر من الداخلي؟ لأن نصف قطر الأنبوب سيكون عندئذ صفرًا أو سالبًا، وهو ما لا يمثّل حلقة صلبة صحيحة؛ وفي هذه الحالة تُرجع الحاسبة القيمة صفرًا.
ما الوحدات التي تستخدمها؟ أي وحدة واحدة تختارها للمدخلين معًا — يخرج الحجم مرفوعًا إلى التكعيب ومساحة السطح مرفوعة إلى التربيع بالوحدة نفسها.
