ما هو المرافق العقدي؟
المرافق العقدي لعدد مكتوب بالصورة الجبرية (الديكارتية) \(z = a + bi\) نحصل عليه ببساطة عن طريق عكس إشارة الجزء التخيلي: \(\overline{z} = a - bi\). يبقى الجزء الحقيقي كما هو، بينما تتغير إشارة الجزء التخيلي إلى عكسها. أمّا هندسيًا، فإن المرافق هو انعكاس النقطة حول المحور الحقيقي (الأفقي) في المستوى العقدي.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل الجزء الحقيقي a والجزء التخيلي b للعدد العقدي، ثم اقرأ ناتج المرافق مباشرةً. يمكن أن تكون القيمتان موجبتين أو سالبتين أو صفرًا، كما تدعم الحاسبة الأعداد العشرية. وتعرض الحاسبة أيضًا المقياس \(|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\)، وهو لا يتغير عند أخذ المرافق.
شرح الصيغة
إذا كان \(z = a + bi\)، فإن مرافقه هو $$\overline{z} = a - bi.$$ ومن أهم المتطابقات أن \(z \cdot \overline{z} = a^{2} + b^{2}\)، وهو عدد حقيقي غير سالب — ولهذا تُستخدم المرافقات في إنطاق المقامات (التخلص من العدد التخيلي في المقام) وفي حساب المقياس. كما أن عملية المرافقة توزيعية على الجمع والضرب: \(\operatorname{conj}(z + w) = \operatorname{conj}(z) + \operatorname{conj}(w)\).
مثال محلول
لنأخذ \(z = 3 + 4i\). يعكس المرافق إشارة الجزء التخيلي فنحصل على \(\overline{z} = 3 - 4i\). أما المقياس فهو $$\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.$$ لاحظ أن مقياس \(z\) ومقياس \(\overline{z}\) متساويان تمامًا.
الأسئلة الشائعة
ما هو مرافق العدد الحقيقي؟ إذا كان \(b = 0\) فإن العدد يساوي مرافقه نفسه، لأنه لا يوجد جزء تخيلي تُعكس إشارته.
ما هو مرافق العدد التخيلي البحت؟ بالنسبة للعدد \(z = bi\) يكون المرافق هو \(-bi\)، أي انعكاسه حول المحور الحقيقي.
هل تُغيّر المرافقة من مقدار العدد؟ لا. فدائمًا \(|z| = |\overline{z}|\)، لأن عملية التربيع تلغي إشارة \(b\).
