複素共役とは？
直交形式 \(z = a + bi\) で表された複素数の共役（共役複素数）は、虚部の符号を反転させることで得られます。すなわち \(\overline{z} = a - bi\) です。実部はそのままで、虚部だけが正負を入れ替わります。幾何学的に見ると、共役とは複素平面上で実軸（横軸）に関して点を折り返した（鏡映した）ものになります。
この計算ツールの使い方
複素数の実部 a と虚部 b を入力すると、その共役が表示されます。どちらの値も正・負・ゼロのいずれでも構わず、小数の入力にも対応しています。あわせて絶対値 \(|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) も表示されますが、この値は共役をとっても変わりません。
公式の解説
\(z = a + bi\) のとき、その共役は $$\overline{z} = a - bi$$ です。重要な性質として \(z \cdot \overline{z} = a^{2} + b^{2}\) が成り立ち、これは実数かつ非負の値になります。共役が分母の有理化や絶対値の計算に使われるのはこのためです。また、共役は加法・乗法に対して分配的であり、\(\operatorname{conj}(z + w) = \operatorname{conj}(z) + \operatorname{conj}(w)\) が成り立ちます。
計算例
\(z = 3 + 4i\) を考えてみましょう。共役は虚部の符号を反転させるので \(\overline{z} = 3 - 4i\) となります。絶対値は $$|z| = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ です。\(z\) と \(\overline{z}\) の絶対値が等しいことに注目してください。
よくある質問
実数の共役はどうなりますか？ \(b = 0\) の場合、反転すべき虚部が存在しないため、その数は自分自身と等しい共役になります。
純虚数の共役はどうなりますか？ \(z = bi\) の場合、共役は \(-bi\) となり、これは実軸に関する鏡映にあたります。
共役をとると大きさは変わりますか？ いいえ。常に \(|z| = |\overline{z}|\) が成り立ちます。二乗することで \(b\) の符号が打ち消されるためです。
