複素数の累乗根計算機とは？
0 でない複素数 \(z = a + bi\) には、必ず ちょうど n 個の異なる n 乗根が存在します。この計算機はそのすべてを一度に求めます。まず z を極形式（絶対値 \(r\) と偏角 \(\theta\)）に変換し、ド・モアブルの定理を適用して、各根を \(a + bi\) の直交座標形式と角度の両方で一覧表示します。これらの根は、複素平面上で半径 \(r^{1/n}\) の円周上に \(360°/n\) ずつ等間隔に並びます。
使い方
複素数の実部（\(a\)）と虚部（\(b\)）を入力し、求めたい根の次数 \(n\) を選びます（例：平方根なら 2、立方根なら 3）。すると、絶対値 \(|z|\)、偏角 \(\theta\)（度数表示）、根の絶対値 \(r^{1/n}\)、そして \(n\) 個すべての根をまとめた表が表示されます。主値（\(k = 0\) の根）は表の先頭で強調表示されます。
公式の解説
まず z を極形式で表します：\(r = \sqrt{a^2 + b^2}\)、\(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\)。このとき n 乗根は次の式で与えられます。
$$w_k = \sqrt[n]{r}\left[\cos\!\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right) + i\sin\!\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right)\right],\quad k = 0, 1, \dots, n-1$$どの根も絶対値は同じ \(r^{1/n}\) で、変わるのは角度だけです。角度はステップごとに \(2\pi/n\) ずつ増えていきます。
計算例
\(z = -1\)（\(a = -1\)、\(b = 0\)、\(n = 2\)）の平方根を求めてみましょう。ここでは \(r = 1\)、\(\theta = 180°\) です。根の絶対値は \(1^{1/2} = 1\)。角度は \(180°/2 = 90°\) と \((180° + 360°)/2 = 270°\) になります。したがって根は \(\cos 90° + i\sin 90° = \) i と \(\cos 270° + i\sin 270° = \) −i です。これがまさに −1 の 2 つの平方根です。
よくある質問
なぜ根は n 個あるのですか？ 偏角に \(2\pi\) の整数倍を足しても同じ複素数を表すため、それを \(n\) で割ると、繰り返しが始まる前に \(n\) 個の異なる角度が得られるからです。
z = 0 のときはどうなりますか？ 0 の根はただ 1 つ、0 だけです。計算機は \(0 + 0i\) を返します。
角度は度数法ですか、それとも弧度法ですか？ 表示は見やすさを優先して度数法（°）です。ただし内部の計算は弧度法（ラジアン）で行っています。
