सम्मिश्र मूल कैलकुलेटर क्या है?
हर शून्येतर सम्मिश्र संख्या \(z = a + bi\) के ठीक n अलग-अलग n-वें मूल होते हैं। यह कैलकुलेटर उन सभी को ढूँढ निकालता है। यह z को ध्रुवीय रूप (मापांक \(r\) और कोणांक \(\theta\)) में बदलता है, फिर डी मोइवर प्रमेय लगाकर हर मूल को आयताकार \(a + bi\) रूप में, उसके कोण समेत, सूचीबद्ध करता है। ये मूल सम्मिश्र तल में \(r^{1/n}\) त्रिज्या वाले एक वृत्त पर समान रूप से बँटे होते हैं और हर मूल के बीच \(360°/n\) का अंतर होता है।
इसका उपयोग कैसे करें
अपनी सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग (\(a\)) और काल्पनिक भाग (\(b\)) दर्ज करें, फिर मूल की घात \(n\) चुनें (उदाहरण के लिए, वर्गमूल के लिए 2, घनमूल के लिए 3)। यह टूल मापांक \(|z|\), कोणांक \(\theta\) डिग्री में, मूल का मापांक \(r^{1/n}\), और सभी \(n\) मूलों की पूरी तालिका लौटाता है। मुख्य मूल (\(k = 0\)) सबसे ऊपर हाइलाइट किया जाता है।
सूत्र की व्याख्या
सबसे पहले z को ध्रुवीय रूप में लिखें: \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\) और \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\)। इसके बाद n-वें मूल इस प्रकार होते हैं:
$$w_k = r^{1/n}\left[\cos\!\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right) + i\cdot\sin\!\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right)\right],\quad k = 0, 1, \dots, n-1$$
हर मूल का मापांक एक ही — \(r^{1/n}\) — रहता है; केवल कोण बदलता है, जो हर चरण पर \(2\pi/n\) से बढ़ता जाता है।
हल किया गया उदाहरण
\(z = -1\) (\(a = -1\), \(b = 0\), \(n = 2\)) के वर्गमूल ज्ञात करें। यहाँ \(r = 1\) और \(\theta = 180°\) है। मूल का मापांक \(1^{1/2} = 1\) है। कोण हैं \(180°/2 = 90°\) और \((180° + 360°)/2 = 270°\)। इसलिए मूल हैं \(\cos 90° + i\cdot\sin 90° = \mathbf{i}\) और \(\cos 270° + i\cdot\sin 270° = \mathbf{-i}\)। ये ठीक \(-1\) के दोनों वर्गमूल हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
n मूल ही क्यों होते हैं? क्योंकि कोणांक में \(2\pi\) का कोई भी गुणज जोड़ने पर वही संख्या मिलती है, और \(n\) से भाग देने पर दोहराव से पहले \(n\) अलग-अलग कोण बन जाते हैं।
z = 0 का क्या होगा? शून्य का केवल एक मूल होता है: 0। कैलकुलेटर \(0 + 0i\) लौटाता है।
कोण डिग्री में होता है या रेडियन में? पढ़ने में आसानी के लिए परिणाम डिग्री में दिखाए जाते हैं; अंदरूनी गणना रेडियन में होती है।
